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(新高考)高考数学二轮复习 大题考法专训(八)导数的综合问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

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大题考法专训(八) 导数的综合问题A 级——中档题保分练1.已知函数 f(x)=ln x-4ax,g(x)=xf(x).(1)若 a=,求 g(x)的单调区间;(2)若 a>0,求证:f(x)≤-2.解:(1)由 a=,得 g(x)=xln x-x2(x>0),所以 g′(x)=ln x-x+1.令 h(x)=ln x-x+1,则 h′(x)=,故 h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,h(x)max=h(1)=0,从而当 x>0 时,g′(x)≤0 恒成立,故 g(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间.(2)证明:f′(x)=-4a=,由 a>0,令 f′(x)=0,得 x=,故 f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以 f(x)max=f=ln -1,所以只需证明 ln -1≤-2,即证明 ln 4a+-1≥0.令 φ(a)=ln 4a+-1,则 φ′(a)=-=,令 φ′(a)>0,得 a>,令 φ′(a)<0,得 0<a<,所以 φ(a)在上单调递减,在上单调递增,所以 φ(a)min=φ=0,所以 ln 4a+-1≥0,原不等式得证.2.(2019·郑州第二次质量预测)已知函数 f(x)=axln x-bx2-ax.(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y+=0,求 a,b 的值;(2)若 a≤0,b=时,∀x1,x2∈(1,e),都有<3,求 a 的取值范围.解:(1)由题意知,f′(x)=a(1+ln x)-2bx-a=aln x-2bx,则 f′(1)=-2b=-1,所以 b=,又 f(1)=-b-a=-,所以 a=1.即 a=1,b=.(2)当 a≤0,b=时,f′(x)=aln x-x<0 在(1,e)上恒成立,所以 f(x)在(1,e)上单调递减.不妨设 x1<x2,则 f(x1)>f(x2),原不等式可化为<3,即 f(x1)-f(x2)<3x2-3x1,即 f(x1)+3x1<f(x2)+3x2.令 g(x)=f(x)+3x,则 g(x)在(1,e)上单调递增,所以 g′(x)=f′(x)+3=aln x-x+3≥0 在(1,e)上恒成立,即 a≥在 x∈(1,e)上恒成立.令 h(x)=,x∈(1,e),h′(x)=,令 φ(x)=ln x+-1,x∈(1,e),则 φ′(x)=-=<0,所以 φ(x)在(1,e)上单调递减,φ(x)>φ(e)=>0,所以 h′(x)>0,h(x)在(1,e)上单调递增,h(x)<h(e)=e-3,所以 a≥e-3.综上,a 的取值范围为[e-3,0].3.已知函数 f(x)=(x-1)2-x+ln x(a>0).(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 1<a<e,试判断 f(x)的零点个数.解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a(x-1)-1+=,令 f′(x)=0,则 x1=1,x2=,① 若 a=1,则 f′(x)≥0 恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增.② 若 0<a<1...

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