大题考法专训（八） 导数的综合问题A 级——中档题保分练1．已知函数 f(x)＝ln x－4ax，g(x)＝xf(x)．(1)若 a＝，求 g(x)的单调区间；(2)若 a＞0，求证：f(x)≤－2.解：(1)由 a＝，得 g(x)＝xln x－x2(x＞0)，所以 g′(x)＝ln x－x＋1.令 h(x)＝ln x－x＋1，则 h′(x)＝，故 h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，h(x)max＝h(1)＝0，从而当 x＞0 时，g′(x)≤0 恒成立，故 g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间．(2)证明：f′(x)＝－4a＝，由 a＞0，令 f′(x)＝0，得 x＝，故 f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以 f(x)max＝f＝ln －1，所以只需证明 ln －1≤－2，即证明 ln 4a＋－1≥0.令 φ(a)＝ln 4a＋－1，则 φ′(a)＝－＝，令 φ′(a)＞0，得 a＞，令 φ′(a)＜0，得 0＜a＜，所以 φ(a)在上单调递减，在上单调递增，所以 φ(a)min＝φ＝0，所以 ln 4a＋－1≥0，原不等式得证．2．(2019·郑州第二次质量预测)已知函数 f(x)＝axln x－bx2－ax.(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 x＋y＋＝0，求 a，b 的值；(2)若 a≤0，b＝时，∀x1，x2∈(1，e)，都有＜3，求 a 的取值范围．解：(1)由题意知，f′(x)＝a(1＋ln x)－2bx－a＝aln x－2bx，则 f′(1)＝－2b＝－1，所以 b＝，又 f(1)＝－b－a＝－，所以 a＝1.即 a＝1，b＝.(2)当 a≤0，b＝时，f′(x)＝aln x－x＜0 在(1，e)上恒成立，所以 f(x)在(1，e)上单调递减．不妨设 x1＜x2，则 f(x1)＞f(x2)，原不等式可化为＜3，即 f(x1)－f(x2)＜3x2－3x1，即 f(x1)＋3x1＜f(x2)＋3x2.令 g(x)＝f(x)＋3x，则 g(x)在(1，e)上单调递增，所以 g′(x)＝f′(x)＋3＝aln x－x＋3≥0 在(1，e)上恒成立，即 a≥在 x∈(1，e)上恒成立．令 h(x)＝，x∈(1，e)，h′(x)＝，令 φ(x)＝ln x＋－1，x∈(1，e)，则 φ′(x)＝－＝＜0，所以 φ(x)在(1，e)上单调递减，φ(x)＞φ(e)＝＞0，所以 h′(x)＞0，h(x)在(1，e)上单调递增，h(x)＜h(e)＝e－3，所以 a≥e－3.综上，a 的取值范围为[e－3,0]．3．已知函数 f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a＞0)．(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 1＜a＜e，试判断 f(x)的零点个数．解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，令 f′(x)＝0，则 x1＝1，x2＝，① 若 a＝1，则 f′(x)≥0 恒成立，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．② 若 0＜a＜1...
