第 19 练 导数的综合应用[明晰考情] 1.命题角度：函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.2.题目难度：偏难题.考点一 利用导数研究函数的零点(方程的根)方法技巧 求解函数零点(方程根)的个数问题的基本思路：(1)转化为函数的图象与 x 轴(或直线 y＝k)在该区间上的交点问题；(2)利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；(3)结合图象求解.1.设函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设 a＝b＝4，若函数 f(x)有三个不同零点，求 c 的取值范围.解 (1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b. f(0)＝c，f′(0)＝b，∴曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝bx＋c.(2)当 a＝b＝4 时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.令 f′(x)＝0，得 3x2＋8x＋4＝0，解得 x＝－2 或 x＝－.当 x 变化时，f(x)与 f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的变化情况如下：x(－∞，－2)－2－f′(x)＋0－0＋f(x)↗c↘c－↗∴当 c>0 且 c－<0 时，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在 x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得 f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由 f(x)的单调性知，当且仅当 c∈时，函数 f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c 有三个不同零点.2.已知函数 f(x)＝－2lnx(a∈R，a≠0).(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f(x)有最小值，记为 g(a)，关于 a 的方程 g(a)＋a－－1＝m 有三个不同的实数根，求实数 m 的取值范围.1解 (1)f′(x)＝－(x>0)，当 a<0 时，f′(x)<0，则 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当 a>0 时，f′(x)＝，则 f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增.(2)由(1)知，a>0，f(x)min＝f()＝1－ln a，即 g(a)＝1－ln a，方程 g(a)＋a－－1＝m，即 m＝a－ln a－(a>0)，令 F(a)＝a－ln a－(a>0)，则 F′(a)＝1－＋＝，知 F(a)在和上单调递增，在上单调递减，F(a)极大值＝F＝－＋ln 3，F(a)极小值＝F＝－ln 2＋ln 3.依题意得实数 m 的取值范围是.3.已知函数 f(x)＝(x－1)ex＋ax2，a∈R.(1)讨论函数 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.解 (1)f′(x)＝ex＋(x－1)ex＋2ax＝x(ex＋2a).① 若 a≥0，则当 x>0 时，f′(x)>0；当 x<0 时，f′(x)<0.故函数 f(x)在...
