1.3.3 函数的最大(小)值与导数课时达标训练1.函数 f(x)=x3-3x(|x|<1)( )A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值【解析】选 D. f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，当 x∈(-1,1)时，f′(x)<0，所以 f(x)在(-1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值.2.函数 y＝2x3－3x2－12x＋5 在［－2,1］上的最大值、最小值分别是( )A.12，－8B.1，－8C.12，－15D.5，－16【解析】选 A.y′＝6x2－6x－12，由 y′＝0⇒x＝－1 或 x＝2(舍去)．x＝－2 时 y＝1，x＝－1 时 y＝12，x＝1时 y＝－8.所以 ymax＝12，ymin＝－8.3.已知函数，若函数在区间 (其中 a＞0)上存在最大值，则实数 a 的取值范围为( )【解析】选 B.因为,x＞0，所以.当 0＜x＜1 时，f′(x)＞0；当 x＞1 时，f′(x)＜0.所以 f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减，所以函数 f(x)在 x=1 处取得极大值.因为函数 f(x)在区间 (其中 a＞0)上存在最大值，4.(2017·济南模拟)若函数 (a∈R)，且在区间上的最大值为，则实数 a 的值为 .【解析】由已知得 f′(x)=a(sin x+xcos x)1对于任意的 x∈，有 sin x+xcos x＞0，当 a=0 时，，不符合题意，当 a＜0 时,x∈，f′(x)＜0，从而 f(x)在上单调递减，所以 f(x)在上的最大值为，不符合题意，当 a＞0 时,x∈，f′(x)＞0，从而 f(x)在上单调递增，所以 f(x)在上的最大值为，解得 a=1.答案：15.已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a).(1)若 f′(1)＝3，求 a 的值及曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.(2)求 f(x)在区间［0,2］上的最大值.【解析】(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为 f′(1)＝3－2a＝3，所以 a＝0.又当 a＝0 时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 3x－y－2＝0.(2)令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，.即 a≤0 时，f(x)在［0,2］上单调递增，从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a.即 a≥3 时，f(x)在［0,2］上单调递减，从而 f(x)max＝f(0)＝0.，即 0
