高中数学 第 1 章 导数及其应用 1.5.1 曲边梯形的面积互动课堂 苏教版选修 2-2疏导引导 本课时重点是用化归和逼近的思想求曲边梯形的面积及求曲边梯形面积的步骤.1.曲边梯形的面积问题 图(1)中,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线 y=f(x)的一段.我们把由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0 和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢? 下面先研究一个特殊情形:如何求由抛物线 y=x2与直线 x=1,y=0 所围成的平面图形〔图(2)的阴影部分〕的面积 S? 图(2)中的曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形面积 S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？ 可以发现，图(2)中的曲边梯形与“直边图形”的主要区别是，前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段. 在过去的学习中,我们曾经用正多边形逼近圆的方法,利用正多边形面积求出了圆的面积.这种“以直代曲”的思想启发我们，是否也能用直边形(比如矩形)逼近曲边梯形的方法求图(2)中阴影部分面积呢？ 如图(3)，把区间［0,1］分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形.对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值.可以想象,随着拆分越来越细,近似程度就会越来越好.也即用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.我们通过下面的步骤来具体实施这种方法.(1)分割1 在区间［0,1］上等间隔地插入 n-1 个点,将它等分成 n 个小区间:[0,],[,],…,[,1]. 记第 i 个区间为[,](i=1,2, …,n),其长度为 Δx=-=.分别过上述 n-1个分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形〔如图(3)〕,它们的面积记作:ΔS1,ΔS2, …,ΔSn.显然,S=ΔSi.(2)近似代替 记 f(x)=x2.如图(3),当 n 很大,即 Δx 很小时,在区间[,]上,可以认为函数f(x)=x2的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于左端点处的函数值 f(). 从图形上看,就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边〔图(4)〕.这样,在区间[,]上,用小矩形的面积 ΔS′i近似地代替 ΔSi,即在局部小范围内“以直代曲”，则有 ΔSi≈ΔS′i=f()Δx=()2·Δx=()2·(i=1,2,…,n).(3)求和 由①，图(4)中阴影部分的面积 Sn为 Sn=ΔS′i=f()Δx=()2·=0·+()2·+…+()2·=［12+22+…+(n-1)2］==(1-)(...
