2.2.2 椭圆的简单几何性质第 1 课时 椭圆的简单几何性质A 级 基础巩固一、选择题1．若点 O 和点 F 分别为椭圆＋＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为( )A．2 B．3 C．6 D．8答案：C2．椭圆 x2＋4y2＝1 的离心率为( )A. B.C. D.解析：将椭圆方程 x2＋4y2＝1 化为标准方程 x2＋＝1，则 a2＝1，b2＝，所以 a＝1，c＝＝，故离心率 e＝＝.答案：A3．已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆 C 的方程为( )A.＋y2＝1 B．x2＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1解析：因为＝，且 c＝，所以 a＝，b＝＝1.所以椭圆 C 的方程为＋y2＝1.答案：A4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF1⊥x 轴，直线 AB 与 y 轴交于点 P，其中AP＝2PB，则椭圆的离心率为( )A. B.C. D.解析：如图，△ABF1∽△APO，则＝，即＝.所以 a＝2c.，所以 e＝＝.答案：D5．椭圆＋y2＝1 的两个焦点为 F1，F2，过 F1作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|的值为( )A. B.C. D．4答案：C二、填空题16．已知椭圆的短轴长等于 2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是________．解析：设椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，焦距为 2c，则 b＝1，a2＋b2＝()2，即 a2＝4.所以椭圆的标准方程是＋y2＝1 或＋x2＝1.答案：＋y2＝1 或＋x2＝17．已知椭圆＋＝1 的离心率为，则 k 的值为________．解析：当 k＋8＞9 时，e2＝＝＝，k＝4；当 k＋8＜9时，e2＝＝＝，k＝－.答案：4 或－8．如图，把椭圆＋＝1 的长轴(线段 AB)分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线，分别交椭圆于 P1，P2，P3，…，P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________．解析：由椭圆的对称性及定义，知|P1F|＋|P7F|＝2a，|P2F|＋|P6F|＝2a，|P3F|＋|P5F|＝2a，|P4F|＝a，所以|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋|P4F|＋|P5F|＋|P6F|＋|P7F|＝7a.因为 a＝5，所以所求式子的值为 35.答案：35三、解答题9．已知椭圆 E的中心在坐标原点 O，两个焦点分别为 A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)．(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)对于 x 轴上的点 P(t，0)，椭圆 E 上存在点 M，使得 MP⊥MH，求实数 t 的取值范围．解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，所以 b＝.所以所求椭圆 E 的标准方程为＋＝1.(2)设 M(...
