课时跟踪检测(二十) 突破“函数与导数”压轴大题的 6 个“卡壳点”1．(2019·福建三校联考)已知函数 f(x)＝e－x－ax，g(x)＝ln(x＋m)＋ax＋1.(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最小值；(2)若对任意的 x∈(－m，＋∞)，恒有 f(－x)≥g(x)成立，求实数 m 的取值范围．解：(1)当 a＝－1 时，f(x)＝e－x＋x，则 f′(x)＝－＋1.令 f′(x)＝0，得 x＝0.当 x＜0 时，f′(x)＜0，当 x＞0 时，f′(x)＞0，∴函数 f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．∴当 x＝0 时，函数 f(x)取得最小值，最小值为 f(0)＝1.(2)由(1)得 ex≥x＋1 恒成立．f(－x)≥g(x)⇔ex＋ax≥ln(x＋m)＋ax＋1⇔ex≥ln(x＋m)＋1.故 x＋1≥ln(x＋m)＋1，即 m≤ex－x 在(－m，＋∞)上恒成立．当 m＞0 时，在(－m，＋∞)上，ex－x≥1，得 0＜m≤1；当 m≤0 时，在 (－m，＋∞)上，ex－x＞1，m≤ex－x 恒成立．于是 m≤1.∴实数 m 的取值范围为(－∞，1]．2．设函数 f(x)＝ex－ax－2.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 a＝1，k 为整数，且当 x＞0 时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求 k 的最大值．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若 a≤0，则 f′(x)＞0，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若 a＞0，则当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．(2)由于 a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故当 x＞0 时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0 等价于k＜＋x(x＞0)．①令 g(x)＝＋x，则 g′(x)＝.由(1)知，函数 h(x)＝ex－x－2 在(0，＋∞)上单调递增．而 h(1)＜0，h(2)＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故 g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为 α，则 α∈(1,2)．当 x∈(0，α)时，g′(x)＜0；当 x∈(α，＋∞)时，g′(x)＞0.所以 g(x)在(0，＋∞)上的最小值为 g(α)．又由 g′(α)＝0，可得 eα＝α＋2，所以 g(α)＝α＋1∈(2,3)．由于①式等价于 k＜g(α)，故整数 k 的最大值为 2.3．(2019·石家庄质检)已知函数 f(x)＝x(ln x－ax)(a∈R)．(1)若 a＝1，求函数 f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，且 x1＜x2，求证：f(x2)＞－.解：(1)由已知得，f(x)＝x(ln x－x)，当 x＝1 时，f(x)＝－1，f′(x)＝ln...
