（江苏专用）2018 版高考数学专题复习 专题 11 算法、复数、推理与证明 第 82 练 矩阵与变换练习 理 训练目标了解简单矩阵与变换的思想与应用．训练题型(1)矩阵运算及逆矩阵的应用；(2)变换的应用；(3)特征值与特征向量的应用．解题策略根据教材上相关内容，理解记忆，无需追求难度，掌握基本概念即可.1．(2016·苏北四市一模)已知矩阵 A＝，求矩阵 A 的特征值和特征向量．2．(2016·南通、扬州、淮安、连云港二模)已知是矩阵 M＝的一个特征向量，求实数 a 的值．3．(2016·南通二模)已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝1 及对应的一个特征向量 e1＝，且 M＝.求矩阵 M.4．(2016·南京三模)已知矩阵 A＝(k≠0)的一个特征向量 α＝，A 的逆矩阵 A－1对应的变换将点(3,1)变为点(1,1)．求实数 a，k 的值．5．(2016·宿迁三校调研)已知矩阵 A＝属于特征值 λ 的一个特征向量为 a＝.(1)求实数 b 的值；(2)若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下，得到的曲线为 C′：x2＋2y2＝2，求曲线 C 的方程．6．(2016·南京、盐城一模)设矩阵 M＝的一个特征值为 2，若曲线 C 在矩阵 M 变换下的方程为x2＋y2＝1，求曲线 C 的方程．答案精析1．解 矩阵 A 的特征多项式f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，由 f(λ)＝0，解得 λ1＝2，λ2＝3.当 λ＝2 时，特征方程组为故属于特征值 2 的一个特征向量α1＝；当 λ＝3 时，特征方程组为故属于特征值 3 的一个特征向量α2＝.2．解 设是矩阵 M 属于特征值 λ 的一个特征向量，则＝λ，1故解得3．解 设 M＝，则由＝，得再由＝，得联立以上方程解得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，故 M＝.4．解 设特征向量 α＝对应的特征值为 λ，则＝λ，即因为 k≠0，所以 a＝2.因为 A－1＝，所以 A＝，即＝，所以 2＋k＝3，解得 k＝1.综上，a＝2，k＝1.5．解 (1)因为矩阵 A＝属于特征值 λ 的一个特征向量为 a＝，所以＝λ，即＝.从而解得 b＝0，λ＝2.(2)由(1)知，A＝.设曲线 C 上任一点 M(x，y)在矩阵 A 对应的变换作用后变为曲线 C′上一点 P(x0，y0)，则＝＝，从而因为点 P 在曲线 C′上，所以 x＋2y＝2，即(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，从而 3x2＋6xy＋9y2＝1.所以曲线 C 的方程为 3x2＋6xy＋9y2＝1.6．解 由题意，知矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，因为矩阵 M 有一个特征值为 2，所以 f(2)＝0，所以 a＝2.设曲线 C 上任一点的坐标为(x，y)，其在矩阵 M 的变换下的对应点的坐标为2(x′，y′)．所以 M＝＝，即因为曲线 C 在矩阵 M 变换下的方程为x2＋y2＝1，所以(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲线 C 的方程为 8x2＋4xy＋y2＝1.3
