高考数学总复习教程第 11 讲 数列综合问题一、本讲内容 本讲进度：数列的求和问题，数列的综合问题。二、学习指导无论是给了递推公式，还是给了前 n 项的和与通项之间的关系式。都不能直接知晓它与我们所熟悉的等差数列或等比数列的哪一种有关，以及是怎样一种关系。这就需要我们仔细观察题设条件及结论的特点，适当进行变化，间接地与等差，等比数列挂上钩，这之中不乏探索的过程，也就是说，这种变化并无明确的法则，只能是依据经验和题目特点进行尝试，这也就是难点之所在。三、典型例题讲评例 1．已知数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，且满足对一切正整数 n，有 Sn=(an－1)，在数列｛bn｝中，bn= 4n+3。（1）求数列｛an｝的通项公式（2）把两个数列的公共项按它们的原先的顺序排成新数列｛Cn｝，求它的通项公式。 用 Sn－Sn—1即可求出 an，但此式成立的前提是 n≥2，在此外得到 an=3an—1后不能立即得出｛an｝成等比的结论，一定要先验证 a1 ≠0，切记！ 在第（2）小题中，如何求出“公共项”是关键，首先应注意，“公共项”是指在｛an｝和｛bn｝中都出现了的项，但相应项数未必一样，不能出现“令 an=bn”这样的式子，而只能令 an=bm，得出 n与 m 间关系，在本题中，我们不难求出 an=3n，令 3n=4m+3，n 与 m 的关系怎样求？如写为n=log3(4m+3)或 m=，前者来的必是整数，后者亦来必是整娄，只有当 n 为奇数（记 n=2k－1）时才是整数，（可用二项式定理说明）了即便这样因 b1=7，故｛a2｝中奇数项并不能从 1 开始，而只能从 3 开始，这都是解题时必须加以注意的。 例 2．已知在△ABC 中，三边长的平方 a2、b2、c2成等差数列。（1）求证：cotA、cotB、cotC 成等差数列；（2）求证：、、成等差数列。 在第（1）小题中，cotA、cotB、cotC 成等差如何用 a2、b2、c2成等差挂上钩？极易盲目转换，误入歧途，已知为边际关系，欲证为角际关系，应往边上靠，但余切公式甚少，化为弦：要证cotA、cotB、cotC 成等差，即证、、成等差，由正、余弦定理知，即证、、成等差，由已知立得。 在第（2）小题中，已知，求证均为边际关系，就需把所求式值 a2、b2、c2上靠拢；要证、、成等差，这就很好证了，所需注意的是，上面的证明中须 d≠0（否则 b－a、c－a、c－b 等均为 0）而 d=0 时，a=b=c，可推得==，原结论当然也成立。 例 3．求和：用心 爱心 专心 123 号编辑 1 （1）++……+（2）－+－+…...
