“将军饮马”类题型大全一．求线段和最值1（一）两定一动型例 1：如图， AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P 是 EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是 ______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B 是定点， P 是动点，属于 两定一动将军饮马型，根据常见的“ 定点定线作对称 ”，可作点 A 关于 EF 的对称点 A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时 A’P＋ PB即为 A’B，最短．而要求 A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点 A 关于 EF的对称点 A’，过点 A’作 A’C⊥BN的延长线于 C．易知 A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝ MN＝12m，在 Rt△A’BC中，A’B＝ 15m，即 PA＋PB的最小值是 15m．变式：如图，在边长为2 的正三角形 ABC中， E，F，G为各边中点， P 为线段 EF 上一动点，则△ BPG周长的最小值为 _________．分析：考虑到 BG为定值是 1，则△ BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是 两定一动的将军饮马型 ，考虑作点 G关于 EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则 AG⊥BC，再连接 EG，根据“ 直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得 AE＝EG，则点 A就是点 G关于 EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接 AG，易知 PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当 B，P，A三点共线时， BP＋PG＝BA，此时最短， BA＝2，BG＝1，即△ BPG周长最短为 3. 2 （二）一定两动型例 2：如图，在△ ABC中， AB＝AC＝5，D 为 BC中点， AD＝5，P 为 AD上任意一点， E为 AC上任意一点，求 PC＋PE的最小值．分析：这里的点C 是定点， P，E 是动点，属于 一定两动的将军饮马模型，由于△ ABC是等腰三角形， AD是 BC中线，则 AD垂直平分 BC，点 C关于 AD的对称点是点 B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当 B，P，E 三点共线时， BE更短．但此时还不是最短，根据“ 垂线段最短 ” 只有当 BE⊥AC时， BE最短．求 BE时，用 面积法 即可．解答：作 BE⊥AC交于点 E，交 AD于点 P，易知 AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则 AD· BC＝BE· AC，4×6＝BE· 5， BE＝4.8 变式：如图， BD平分∠ ABC， E，F 分别为线段 BC，BD上的动点， AB＝8，△ABC的周长为 20，求 EF＋CF的最小值 ________．分析：这里的点 C 是定点， F，E 是动点，属于 一定两动的将军饮...
