分类讨论的思想方法VIP专享VIP免费

四、分类讨论的思想方法[概述]：分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想，又是一个重要的数学方法，很多数学问题涉及知识范围广，约束条件多，很难用统一方法解决，因此就从“分割”入手，将整体化为若干局部，每个局部问题相对确定，解法单一，比较容易解决，每个局部问题解决了，整体问题也就得到解决。即采用化整为零各个击破的方针。1。分类讨论的关键：1）找出分类的根源，明确为什么分类？2）找出分类的对策，明确怎样分类。一般地：1）使用数学性质，定理，公式视其限制条件，成立条件进行分类；如等比数列前项和公式，要依据公比和得到两个不同的表达式；绝对值的性质；2）由概念引起的讨论，如直线与平面所成的角；3）由变形所需条件的限制引起的讨论；如方程的解的情况；4）由图形的不确定性引起的讨论，如到平面的距离分别为，求重心到平面的距离；5）对于含有参数的问题对参数的允许值进行全面的讨论，如直线方程的点斜式和截距式；6）其它：根据实际问题具体分析进行讨论，如排列、组合问题，应用问题。2。分类讨论的解题步骤：1）确定讨论的对象以及全域；2）合理分类统一标准，作到不重，不漏；3）逐类讨论，分级进行；4）归纳总结得出整个题目结论。3。分类讨论的类型：1）问题中的变量或参数不确定性，需要分类讨论；2）问题的条件是分类给出的；3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；4）几何问题中，几何元素的形状、图象位置的变化需要分类讨论的。简化和避免分类讨论的方法：1）直接回避，如运用反证法、补集法、消参法。2）变更主元。3）合理简化运算。4）数形结合。[例题分析]例1：设集合，映射，使对任何，都有是奇数，这样的映射有多少个？变式：设函数，满足，则这样的映射个数有：A：1个；B：4个；C：8个；D:10个。例2：设，若，则的值构成的集合是。例3：（对问题中变量或参数进行分类讨论）函数在上最大值与最小值之差为3，则的值是多少？变式：解关于的不等式：变式：已知函数其中为常数，求这个函数的定义域。例4．（问题的条件是分类给出的，需要分类讨论）已知数列的前项的和求数列的前项的和。例5．给出定点，和直线是直线上一动点，的角平分线交于点C，求点C的轨迹方程并讨论方程表示的曲线类型与的关系。例6．设函数。证明：的导数。若对所有都有，求的取值范围。（略）专题四1令，则。1）若，当时，，在上为增函数，时，，即。2）若，方程的正根为，此时若，则，故在该区间为减函数，因此，即不符合要求。综上：满足条件的的取值范围是。例7：（07山东）设，其中。1，当时，判断函数在定义域上的单调性；2，求函数的极值点；3，证明对任意的正整数，不等式都成立。[分析]：的定义域为，当时，，结论成立。讨论:当时，无极值点；当时，=0有两个相等的解，在左右两侧符号相等，无极值。当时，=0有两个不同解时，，即，且随的变化情况如下表：专题四20极小值当时，，随的变化情况如下表：+0—0+极大值极小值纵上所述：时，，令，则例8：已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．（Ⅰ）解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值专题四3所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．例9：设函数（x∈R），其中a∈R，（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值；。（3）当a>3时，证明存在，使得不等式对任意的x∈R恒成立。（Ⅰ）解：当时，，得，且，．所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．（Ⅱ）解：．令，解得或．专题四4由于，以下分两种情况讨论．（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．（2）若，当变化时，的正负如下表：因此...