高三数学第一轮复习：不等式证明，均值不等式（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：不等式证明，均值不等式二. 重点、难点：1. 证明方法（1）直接证明：比较法、综合法、分析法（2）间接证明：反证法（3）其它方法2. 均值不等式【典型例题】[例1] 证明：（1），求证：（2）且，求证：（3），，求证：（4）且，求证：（5），求证：（6），求证：中至少有一个不小于（7），求证：证明：（1）（2）（3）左= ∴ ∴ 左（4） ∴ *式显然成立∴ （5）（6）假设即，，与已知矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题真（7） ∴ ∴ [例2]（1）的最大值；（2），的最小值解：（1） ∴ 时，（2） ∴ 时，[例3] （1），求的最小值；（2），求的最小值。解：（1） ∴ （2），∴ 当 ∴另解： [例4] ，函数，若方程，在（0，1）内有两个不等的实根，求正整数 的最小值及此时方程的根。解：∴ 开口向上，不妨设两根∴ ∴又 ∴又，∴ ∴ 此时∴ ∴ [例5] 已知是实数，函数，，当时，。（1）证明：；（2）证明：当时，（3）设，有时，的最大值为2，求（1）证明：由条件当时，，取得，即（2）证法一：依题设而，所以，当时，在上是增函数，于是，（） ∴因此得，；当时，在[－1，1]上是减函数于是 ∴综上以上结果，当时，都有证法二： ∴ ，∴，，因此，根据绝对值不等式性质得： ∴函数的图象是一条直线因此在[－1，1]上的最大值只能在区间的端点或处取得于是由得，（）证法三： ∴当时，有 ，（），∴因此当时，（3）解：因为，在[－1，1]上是增函数，当x=1时取得最大值2，即① ，∴ 因为当时，，即，根据二次函数的性质，直线为的图象的对称轴，由此得，即，由①得，所以[例6] 设二次函数，方程的两个根满足。（1）当时，证明；（2）设函数的图象关于直线对称，证明：。解：（1）令，因为是方程的根所以当时，由于，得又，得，即 ，∴∴，由此得（2）依题意：，因为是方程的两根，即是方程的根∴ ∴ 因为，∴[例7] 设（为常数），方程的两个实数根为，，且满足。（1）求证：；（2）设，比较与的大小。（1）证明：由，得，∴∴（2）解： ，∴ 又，∴∴[例8] 设，是满足的实数，其中。求证：（1）；（2）。证明：（1）由，得， ，∴∴，∴，∴ 又，∴（2）由，得 ，∴ ∴，即化简得+2 ∴ ∴[例9] 设函数的定义域是R，对于任意实数，恒有，且当时，。（1）求证：，且当时，有；（2）...
