第1页《复数》知识点总结1、复数的概念形如( ,)abi a bR 的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i， a 叫做复数的实部， b 叫做复数的虚部. (1) 纯虚数：对于复数zabi ，当00ab且时，叫做纯虚数. (2) 两个复数相等：,()abi cdi abcdR、 、 、相等的充要条件是=acb d且. (3) 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴 . (4) 复数的模：复数zabi 可以用复平面内的点Z( , )a b 表示，向量OZuuur的模叫做复数zabi 的模，表示为：22|| ||zabiab（ 5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算（ 1）加减运算：()()()()abicdiacbd i ；（ 2）乘法运算：() ()()()abicdiacbdadbc i ；（ 3）除法运算：2222()()()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd；（ 4） i 的幂运算：41ni，41nii ，421ni，43nii . ()nZ（ 5）22||||zzzz3、 规律方法总结（ 1）对于复数( ,)zabi a bR 必须强调,a b 均为实数， 方可得出实部为a ，虚部为 b（ 2）复数( ,)zabi a bR 是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数( ,)zabi a bR ，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、 虚部的角度分解成两部分去认识（ 3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分. （ 4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等第2页 1 、基本概念计算类例 1．若,43,221iziaz且21zz为纯虚数，则实数a 的值为 _________ 解：因为，21zz＝25)46(83258463)43)(43()43)(2(432iaaiaiaiiiiaiia，又21zz为纯虚数，所以，3a－8＝0，且 6＋4a0。38a2、复数方程问题例 2．证明：在复数范围内，方程iiziz255)1(||2（i 为虚数单位）无解证明： 原方程化简为,31)1()1(||iziziz设 z＝x＋yi(x 、yR ) ，代入上述方程得3221.31222222yxyxiyixiyx整理得051282xx.016方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。3、综合类例 3．设 z 是虚数，zz1是实数，且－ 1<<2 （1）求|z| 的值及 z 的实部的取值范围；（2）设zzM11，求证： M为纯虚数；（3）求2M的最小值。解：（1）设 ...
