《数列求和的四种方法》课件VIP专享VIP免费

常见数列求和的四种方法数列求和介绍求一个数列的前n项和的几种方法：1、运用公式法2、错位相减法3、裂项相消法4、通项分析法数数列列求求和和一、运用公式法运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。如：等差数列的求和公式：dnaSnnaannn2)1(12)(1等比数列的求和公式：nS1naqqan1)1(1)1(q)1(q还有一些常用公式：6)12)(1(2222321nnnn请看下面例子：数例1求数列的前n项和，，，，，32116181412197531分析：由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为、公比为的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前n项和与一个等比数列的前n项和的和。212111414133818155解：)12(53121814121nnSnnn21814121)12(5312)121(nn2121211)1(n2nn211归纳出：奇数列的前n项和2)12531nn（2121列列求求和和1二、错位相减法错位相减法在等比数列求前n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。求法步骤如下：1、在的两边同时乘于公比qnnaaaS212、两式相减；左边为，右边q的同次式相减nSq)1（3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的各项组成等比数列，可用公式求和。看以下例子数数列列求求和和例2求数列的前n项和nn212167854321，，，，，分析：该数列可看作等差数列等比数列的积数列12nn21这里等比数列的公比q=21解：nnnS212272523214321432212232252321nnnnnS21两式相减：1432212222222222121)1(nnnnS所以：nS212121121211)1n（1212nn运算整理得：nnnS2323数数列列求求和和2例3设求数列的前n项和0annaaaaa,,4,3,2,432nS分析：这个数列的每一项都含有a，而a等于1或不等于1，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行解：1a若nSn3212)1(nn1a若nnnaaaaS3232aqaaaann的积数列，且等比数列与，，，差数列此时，该数列可看作等,,,,,32132两边同乘a:naS132)1(2nnnaanaa两式相减：132)1(nnnnaaaaaSa所以：nSa)1(aaan1)1(1nna运算并整理得：anaaaannnS11)1(1212)1()1(aaannann数数列列求求和和2三、裂项相消法顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。求法步骤1、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。（注意：裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行）2、解题时；对裂开后的通项式令n取1，2，3，,n然后相加得nS3、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的式子即为和式。请看下面例子数数列列求求和和例4求数列的前n项和。)13)(23(11071741411nn，，，，分析：该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3，就可以裂项了。)13)(23(1nnna)13)(23(331nn)13)(23()23()13(31nnnn)13123131nn（解：)13)(23(11071741411nnnS][)13)(23(3107374341331nn][)13)(23()23()13(1077107447411431nnnn)1(1312311017171414131nn)1(13131n13nn数数列列求求和和3例5求数列的前n项和)12)(12()2(7565343122222nnn，，，，nS分析：该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；所以使用处理分式函数的常用手段：“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下：)12)(12(1)12)(12(11)2()12)(12()2(122...