1 椭圆焦点三角形面积公式的应用性质 1( 选填题课直接用，大题需论证): 在椭圆12222byax（ a ＞ b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点 P是椭圆上任意一点，21PFF，则2tan221bSPFF. 证明：记2211||,||rPFrPF，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121arrarr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr即.4)cos1(242212crra.cos12cos1)(222221bcarr由任意三角形的面积公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF. .2tan221bSPFF同理可证，在椭圆12222bxay（ a＞ b ＞0）中，公式仍然成立 . 典型例题例 1 若 P 是椭圆16410022yx上的一点，1F 、2F 是其焦点，且6021PFF，求△21PFF的面积 . 例 2 已 知P 是 椭 圆192522yx上 的 点 ，1F 、2F分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若21||||2121PFPFPFPF，则△21PFF的面积为（）P y F 1O F 2x P 2 A. 33B. 32C. 3D. 33例 3（ 04 湖北） 已知椭圆191622yx的左、 右焦点分别是1F 、2F ，点 P 在椭圆上 . 若 P、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到 x 轴的距离为（）A. 59B. 779C. 49D. 49 或779答案：例 1 若 P 是椭圆16410022yx上的一点，1F 、2F 是其焦点，且6021PFF，求△21PFF的面积 . 解法一：在椭圆16410022yx中，,6,8,10cba而.60记.||,||2211rPFrPF点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.20221arr在△21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr配方，得：.1443)(21221rrrr.144340021rr从而.325621rr.336423325621sin212121rrSPFF解法二：在椭圆16410022yx中，642b，而.60.336430tan642tan221bSPFF解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！3 例 2 已 知P 是 椭 圆192522yx上 的 点 ，1F 、2F分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， 若21||||2121PFPFPFPF，则△21PFF的面积为（）A. 33B. 32C. 3D. 33解：设21PFF，则21||||cos2121PFPFPFPF，.60.3330tan92tan221bSPFF故选答案 A. 例 3（ 04 湖北） 已知椭圆191622yx的左、 右焦点分别是1F 、2F ，点 P 在椭圆上 . 若 P、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到 x 轴的距离为（）A. 59B. 779C. 49D. 49 或779解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到 x 轴的距离为半通径的长492ab；若 P 是直角顶点，设点 P ...
