数学的科普知识 一、高等数学与初等数学的区别？ 从 研究“常量”发展到研究“变量” 从 研究“有限”发展到研究“无限” 对于以上两点，我们从下面这几个方面加以阐述。 1 ．什么是悖论 悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。例如：“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。再如：“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1 为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。 2 ．芝诺悖论 芝诺（前4 9 0 ？—前4 3 0 ？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。下面的是芝诺悖论之一： 阿基里斯追不上乌龟：乌龟先出发，比如乌龟走到1 0 米处，兔子开始出发追乌龟。当兔子追到1 0 处的时候，乌龟已经在下一个点了；当兔子追到下一个点，乌龟已经在下下个点了，以此类推，兔子永远追不上乌龟。 问题的症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。 3 . 芝诺悖论的意义： 1 ）促进了严格、求证数学的发展 2 ）较早的“反证法”及“无限”的思想 3 ）尖锐地提出离散与连续的矛盾： 空间和时间有没有最小的单位？ 芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实”。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。下面我来做下面的问题： 有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了一个旅客，能住下么？ 有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了 n 个旅客，能住下么？ 有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。又来了无穷个旅客，能住下么？ 有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了 n 旅游团，每个团的旅客都是无穷个，能住下么？ 有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了无穷个旅游团，每个团的旅客都是无穷个，能住下么？ 这...
