海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦 （Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据 Morris Kline 在 1908 年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形，边长分别为 a、b、c，三角形的面积 S 可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的 p 为半周长： p=(a+b+c)/2 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —— — — — — — — — — — 注 1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用 s 作为半周长，所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和 S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用 p作为半周长。 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —— — — — — — — — — — 由于任何 n 边的多边形都可以分割成 n-2 个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明（1）： 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边 a、b、c 的对角分别为 A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设 p=(a+b+c)/2 则 p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形 ABC 面积 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）： 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面...
