100 第五章 差分方程模型 在第四章中,我们利用微分方程方法研究了一些连续变化的变量。如果将变量离散化,即可得到相应的差分方程模型,为了方便不熟悉差分方程的读者,先对本章用到的差分方程的知识作一简略介绍。 5.1 差分方程简介 一、差分方程及其通解 以t 表示时间,规定t 只取非负整数。0t表示第一周期初,1t表示第二周期初等。记ty为变量y 在时 刻 t 时 的取 值 ,则 称tttyyy1为的一阶 差分,称tttttttyyyyyyy12122)(为yt的二阶差分。类似地,可以定义 yt的n 阶差分tn y。 由t 、ty 及ty 的差分给出的方程称为ty 差分方程,其中含ty 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如,二阶差分方程02tttyyy也可改写成012tttyyy。 满足差分方程的序列ty 称为此差分方程的解。类似于微分方程情况,若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时,则称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数,则称此解为满足某些初值条件的特解,例如,考察两阶差分方程: 02ttyy 易见tyt2sin 与tyt2cos均是它的特解,而tctcyt2cos2sin21则为它的通解,其中1c ,2c 为两个任意常数。 类似于微分方程,称差分方程 )()()()(110tbytaytaytatnntnt (1) 为n 阶线性差分方程,当0)(tb时称其为n 阶非齐次线性差分方程,而 0)()()(110tnntntytaytayta (2) 称为方程(1)对应的齐次线性差分方程。 若(1)中所有的)(tai均为与 t 无关的常数,则称其为常系数差分方程,即n 阶常系数线性差分方程可写成 101 )(110tbyayayatnntnt (3) 其对应的齐次方程为 0110tnntntyayaya (4) 容易证明,若序列)1(ty与)2(ty均为方程(4)的解,则)2(2)1(1tttycycy也是方程(4)的解,其中1c ,2c 为任意常数,这说明,齐次方程的解构成一个线性空间(解空间)。若)1(ty是方程(4)的解,)2(ty是方程(3)的解,则)2()1(tttyyy也是方程(3)的解。 方程(3)可用如下的代数方法求其通解: (步一)先求解对应的特征方程 0110nnnaaa (5) (步二)根据特征根的不同情况,求齐次方程(4)的通解。 情况1 若特征方程(5)有n 个互不相同的实根1 ,2 ,…,n ,则齐次方程(...