第五章差分方程模型VIP专享VIP免费

100 第五章 差分方程模型 在第四章中，我们利用微分方程方法研究了一些连续变化的变量。如果将变量离散化，即可得到相应的差分方程模型，为了方便不熟悉差分方程的读者，先对本章用到的差分方程的知识作一简略介绍。 5.1 差分方程简介 一、差分方程及其通解 以t 表示时间，规定t 只取非负整数。0t表示第一周期初，1t表示第二周期初等。记ty为变量y 在时 刻 t 时 的取 值 ，则 称tttyyy1为的一阶 差分，称tttttttyyyyyyy12122)(为yt的二阶差分。类似地，可以定义 yt的n 阶差分tn y。 由t 、ty 及ty 的差分给出的方程称为ty 差分方程，其中含ty 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程02tttyyy也可改写成012tttyyy。 满足差分方程的序列ty 称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，则称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解，例如，考察两阶差分方程： 02ttyy 易见tyt2sin 与tyt2cos均是它的特解，而tctcyt2cos2sin21则为它的通解，其中1c ，2c 为两个任意常数。 类似于微分方程，称差分方程 )()()()(110tbytaytaytatnntnt （1） 为n 阶线性差分方程，当0)(tb时称其为n 阶非齐次线性差分方程，而 0)()()(110tnntntytaytayta （2） 称为方程（1）对应的齐次线性差分方程。 若（1）中所有的)(tai均为与 t 无关的常数，则称其为常系数差分方程，即n 阶常系数线性差分方程可写成 101 )(110tbyayayatnntnt （3） 其对应的齐次方程为 0110tnntntyayaya （4） 容易证明，若序列)1(ty与)2(ty均为方程（4）的解，则)2(2)1(1tttycycy也是方程（4）的解，其中1c ，2c 为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个线性空间（解空间）。若)1(ty是方程（4）的解，)2(ty是方程（3）的解，则)2()1(tttyyy也是方程（3）的解。 方程（3）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程 0110nnnaaa （5） （步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程（4）的通解。 情况1 若特征方程（5）有n 个互不相同的实根1 ，2 ，…，n ，则齐次方程（...