第六节泰勒公式与泰勒级数VIP专享VIP免费

1 §7.6 泰 勒 公 式 与泰 勒 级数 教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor级数与 Taylor 展式的关系. 重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法. 难点: 理解泰勒公式的推导方法. 教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程： O、近似表达函数的多项式的特性 无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数 引例：当x 很小时，1xex ，设( )xf xe，1 ( )1P xx ，则 11(0 )(0 )1,(0 )(0 )1fPfP 若将21222( )( )1,(0 )(0 )1 ,( )2xxP xP xxfPP xe 换成＋则与在0x 更为接近.猜想将1 ( )( )nP xP x换成则在0xx处两函数有直到n 阶相同的导数，其在0xx处接近的程度更高，即212!nxxxexn .为用多项式表示更复杂的函数：设有函数)(xf在0xx的某一邻域内有直到1n  阶的导数，令)(xf0100( )()()nnnP xaa xxaxx，再令 )()(1 IDxfn,),(0baIx, 若 ( )( )00()()kknfxPx,nk,,1,0. （(0 )(0 )00()()nfxPx表示0k 的函数值相等）则 )(!10)(xfkakk  （nk,,1,0），于是)(xf0100( )()()nnnP xaa xxaxx. 证明：因0100( )()()nnnP xaa xxaxx, 10( )() (1 )nP xaxx O,20( )2 !() (1 )nP xaxx O…… , 2 ( )0( )!() (1 )knkPxk axxO …… , ( )( )!nnnPxn a, 那么 ( )( )00()()!kknkfxPxk a,所以 )(!10)(xfkakk , nk,,1,0. 一、泰勒（Taylor ）公式 在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式 000( )()()()f xf xfxxx （ 当0xx很小时，） 从几何上看，这是在点0x 附近用切线的一段近似地代替曲线弧 .在 函数改变量的表达式0000( )()()()()f xf xfxxxo xx中 略去了一个关于（0xx）的高阶无穷小量（0xx时）.但公式 000( )()()()f xf xfxxx在实际计算中的精度不高，其误差为 000( )( )()()()R xf xf xfxxx，可以求出 200( )( )() ,,2 !fR xxxxx. 如果需要精度更高些，可将（0xx）的高阶无穷小分离成两部分 220200()()()o xxa xxoxx（0xx时）. 保留与20()x...