1§4 直积群 设1G 和2G 是群G 的两个子群，如果 1 ) G 的每一个元素 g都可唯一地表成 121122,,gg ggGgG=⋅∈∈ 2 ) 1G 的元素与2G 的元素有乘可交换 1221g gg g⋅=⋅ 则称G 为1G 和2G 的直积群，记作12GGG=×， 称1G 和2G 为G 的直因子 2直积分解：将群分成直因子群的直积，称为直积分解。 例如：{}{},,,xye me m是2 vC 的两个子群，可验证满足上述两条，故2 vC 有直积分解 {}222,,,,vxyxyyxxxxyyyCe c m mee ecmmmmme mmeme mme⎧⎫=⎪⎪= ⋅⎪⎪⎪⎪=⋅=⋅⎨⎬⎪⎪= ⋅=⋅⎪⎪⎪⎪= ⋅=⋅⎩⎭ 即 {} {}2,,vxyCe me m=× 3但是，{},xe m，{}2,,,xye c m m不是2 vC 的直因子，因为条件（1 ）不满足 222,xyyyxcecm mmemm c==== 为什么要做群的直积分解 1 ) 由于直因子群的元素个数较少，研究起来较容易 2 ）取直积是扩大群的最简单方法。这在研究原子、分子、晶体、原子核及基本粒子体系的对称性时有用处。 4例如 分子体系22ABC D 。关于平面 ABC 和平面 ABD 的镜像反映xm 和ym 之下不变，故有群{},xe m和{},ye m的对称性 又由2xyyxm mm mc==， 故分子体系22ABC D 在直积群 {} {} {}22,,,,,xyxyve me me c m mC×== 的所有元素作用下不变。 即具有直积群{} {}2,,vxyCe me m=×的对称性。 5又如乙烷26C H 具有 1 ）CC−连线为轴的3 vC 群对称性{}2333123,,,,,vCe cc σ σ σ= 2 ）CC−中点为中心的反演( )I 对称性{},e I ⎫⎬⎭反演与轴及镜面可变换过反演中心的旋转及反映 633333212133321232113332113321232111213322IcIIcc Ic Ic′′′⎫⎪′′′==⎪′′′⎪⎪ ⇒=⎬⎪′′′⎪′′′==⎪⎪′′′⎭ 711111232111323232111332311123232311122233IIIIIσσσσσ′′′⎫⎪′′′==⎪′′′⎪⎪ ⇒=⎬⎪′′′⎪′′′==⎪⎪′′′⎭ 8{}{}{}{}{}333,,,vvvCe ICe ICe I""""讨论：1)，都是群，是的子群 2），中元素可乘，相乘可交换，中的元素 可唯一地表成和中的元素的乘积 故乙烷具有直积群，{}3,vCe I×的对称性 {} {}{}233123223312333123,,,,,,,,,,,,,,,,e cce Ie ccI c I c IIIIσ σ σσ σ σσσσ×=， 9推广，直积群的概念可以推广到多个直因子的情形： 12nGGGG=×××" 有定义可得直积群的四条简单性质 1 ）直因子的交集是{ }e 2 ）直因子是正规子群 3 ）直因子的直积...
