DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列 初中数学中考特殊四边形证明及计算 一．解答题 1．（1）如图①，▱ ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，直线EF 过点O，分别交AD，BC 于点E，F． 求证：AE=CF． （2）如图②，将▱ ABCD（纸片）沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A1 处，点B 落在点B1 处，设FB1 交CD 于点G，A1B1 分别交CD，DE 于点H，I． 求证：EI=FG． 考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）． 分析： （1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用 ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF． （2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG． 解答： 证明：（1） 四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，OA=OC， ∴∠1=∠2， 在△AOE 和△COF 中， ，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF； （2） 四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF， 由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B， ∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又 ∠1=∠2，∴∠3=∠4， ∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE 与△CGF 中， ，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG． 点评： 此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 2．在△ABC 中，AB=AC，点P为△ABC 所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC 交AB 于点E，PF∥AB 交BC于点D，交AC 于点F．若点P在BC 边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB． 请直接应用上述信息解决下列问题： 当点P分别在△ABC 内（如图2），△ABC 外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF 与AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明． 考点： 平行四边形的性质． 专题： 探究型． 分析： 在图2 中，因为四边形PEAF 为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC 为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3 中，PE=AF 可证，FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=AB． 解答： 解：图2 结论：PD+PE+PF=AB． 证明：过点P作MN∥BC 分别交AB，AC 于M，N 两点， PE∥AC，PF∥AB， ∴四边形AEPF 是平行...
