山东建筑大学高数下学期作业第 8 章第八章练习题1、 求下列极限：（1）)(22)(limyxyxeyx；解：222()()()()0(0,0)xyx yxyxyxyeeQ22()()22limlimlimlim0xytttxtttyxyttxyteeee22()lim ()0.xyxyxye（2）2212200 1limyxyxyx. 2212200lim 1xyxyx yQ22222212200lim 1x yx yxyxyx y又2212200lim 1,x yxyx yeQ22222222222()0x yxyxyxyxyQ2200lim()0,xyxyQ22122000lim 11.xyxyx ye2、设0,00,,2222232222yxyxyxyxyxf, 证明：yxf,在点（ 0，0）处连续且偏导数存在，但不可微分。证明： 1）222221 2223 23 222220xyx yxyxyxyQ又1 22200lim0,xyxyQ223 2002200lim,lim00,0 ,xxyyx yfx yfxy所以 ，yxf, 在点（ 0，0）处连续。2）23 222'00000,00,00,0limlim0;xxxxxfxffxx同理：' 0,00.yf所以yxf,在点（ 0，0）处偏导数存在。3) 因22222222222'')()()()(0,00,023yxyxyxyxyxyfxfzyx当)0,0(, yx时，上式极限不存在 .( 取路径xky) 因此，),(yxf在)0,0(处不可微 . 3、设zyxu， 求: .;;zuyuxu解：1 ,zyzuy xx1ln ,zzyuzyxxylnln.zzyuy xxyz4. 设)sin()arctan(zxeyxuxyz，求.du解：dxzxezxyeyxyxzduxyxyzz）（cos)sin()(1)(21dyzxxeyxyxzxyzz)sin()(1)(21.)cos()(1)ln()(2dzzxeyxyxyxxyzz5、试求曲面0aazyx上任何点处的切平面在各坐标轴上的距离之和等于a. 解:设azyxzyxF),,(则曲面上任意点),,(000zyxP处切平面的法向量 :00021,21,21zyxn切平面方程：0)(21)(21)(21000000zzzyyyxxx即azyxzzyyxx000000所以1000azzayyaxx所以azyxaazayax)(0000006、求平面1543zyx和柱面122yx的交线上与xOy 平面距离最短的点解 设所求点为),,(zyx，与 xoy面距离为：zzyxf),,(构造拉格郎日函数：)1(1543),,(22yxzyxzzyxF联立1154305102402322yxzyxFyFxFzyx得点 :1295,53,54,1235,53,54由题意知 ,所求点为1235,53,547、在“充分”、“必要”、和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)yxf, 在点yx, 可微分是yxf, 在该点连续的（充分） 条件. yxf,在点yx, 连续是yxf, 在该点可微分的（必要）条件 . (2) yxfz, 在点yx, 的偏导数yzxz ,存在是yxf, 在该点可微分的（充分 ） 条件 . yxfz, 在点yx , 可微分是函数在该点的一阶偏导数存在的（充分 ） 条件. （3）yxfz, 的偏导数yzxz,在点yx, 存在且连续是yxf, 在该点可微分的（充分 ） 条件 . （4）函数yxfz, 的两个二阶混合偏导数xyzyxz22,...
