幂级数的应用VIP专享VIP免费

幂级数的应用将函数展开成幂级数， 从形式上看， 好像把问题复杂化了， 但是由于幂级数的前 n 项部分和是 x 的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数， 实际上为函数的多项式逼近创造了条件。正是由于这个原因， 函数的幂级数展开式有着应泛的应用。一、 函数值的近似计算利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来．例１计算常数 e，精确到小数第四位．解利用0!nnxnxe，令1x，有!31!2111!10nne．为达到这个精确度，可观察余项)!1)(1(1111!1111!1)2)(1(1111!1)!1(1!12nnnnnnnnnnnnnrn．若取8n，则48101!771r，故计算出7183.2!81!31!2111e．例2计算5 245 精确到小数第四位．解因为51555555532133213232243245．令532x，51 ，得出10255345!24325113245由于这是一个交错级数，故其误差可利用1||nnur确定．取2n，这时，41023210213523|| r，故得出0049.332511324555．例3计算2ln的值，精确到小数第四位．解如果利用)1ln(x 的展开式：4131211)11ln(2ln，理论上可计算2ln，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第1n项的值11n．欲使410111||nrn，n 至少要取 9999项，这太麻烦了，需要去掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替．用432)1ln(432xxxxx减去432)1ln(432xxxxx其差是53211ln53xxxxx．令211xx，解出31x代入上式，得125331121315131313122lnnn，其误差12212421232123)12(4131113)12(2313113)12(231321311212)(nnnnnnnnnnnxr．取4n，这时4741017873213941||r故得出6931.03171315131313122ln753．二、定积分的近似计算利用幂级数不仅可以计算一些函数的近似值，而且还可以计算一些定积分的近似值， 具体地说， 如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，那么把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可计算出定积分的近似值．例4计算dxxx10sin，精确到小数第四位．解由于1sinlim0xxx，因此所给积分不是广义积分， 如果定义xxsin在0x处的值为 1，那么它在积分区间]1,0[上连续．由于xxsin的原函数不能用初等函数表示，因此需要通过幂级数展开式来计算．利用正弦函数的展开式!53sin53xxxx！，两边同除以 x ，得到!531sin42xxxx！再逐项积分!771!551!3311!5!3sin1041031010dxxdxxdxdxxx这是收敛的交错级数，其误差1||nnur，取3n，有43101!771r，故9461.0!551!3311sin10dxxx．例 5计算dxex102221，精确到小...