平面向量四心问题全VIP专享VIP免费

平面向量四心问题 ( 全) 2 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：3 近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如. 下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：一、重心问题三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”就在中线上. 例 1 已知 O是平面上一定点， A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则 P 的轨迹一定通过△ ABC的（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心解析：如图1，以 AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，所以，上式可化为，E在直线 AP上，因为 AE为的中线， 所以选 C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上. 例 2 P 是△ABC所在平面上一点，若，则 P 是△ABC的（） . 4 A．外心 B ．内心 C．重心 D ．垂心解析 : 由. 即. 则，所以 P 为的垂心 . 故选 D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识. 将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例 3 已知 P 是△ABC所在平面内的一动点，且点P 满足，则动点 P 一定过△ ABC的〔〕. A、重心 B 、垂心 C、外心 D、内心解析：如图2 所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知 AP平分，那么在中， AP平分，则知选 B. 5 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉， 又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了. 四、外心问题三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线...