第三十五周容斥原理 专题简析： 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 容斥原理：对 n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质 a 分类与性质 b分类（如图），那么具有性质 a 或性质 b 的事物的个数=Na＋Nb－Nab。 NabNbNa例1：一个班有48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 分析完成语文作业的有37 人，完成数学作业的有42 人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31 人。 练习一 1，五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65 人，数学优秀的有87 人。语文、数学都优秀的有多少人？ 2，四年级一班有54 人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13 人，订《小学生优秀作文》的有45 人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？ 3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24 人，会弹电子琴的有17 人，其中两种乐器都会演奏的有8 人。这个文艺组一共有多少人？ 例2：某班有36 个同学在一项测试中，答对第一题的有25 人，答对第二题的有23 人，两题都答对的有15 人。问多少个同学两题都答得不对？ 分析与解答：已知答对第一题的有25 人，两题都答对的有15 人，可以求出只答对第一题的有25－15=10 人。又已知答对第二题的有23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答得不对的有36－33=3 人。 练习二 1，五（1）班有40 个学生，其中25 人参加数学小组，23 人参加科技小组，有19 人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？ 2，一个班有55 名学生，订阅《小学生数学报》的有32 人，订阅《中国少年报》的有29 人，两种报纸都订阅的有25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？ 3，某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛...
