习题8.2反常积分的收敛判别法VIP免费

278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理 8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l  0 或  时， adxx)(和 adxxf)(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理 8.2.2（比较判别法） 设在[ ,)a   上恒有)()(0xKxf，其中 K 是正常数。则 当 adxx)(收敛时 adxxf)(也收敛； 当 adxxf)(发散时 adxx)(也发散。 证 当 adxx)(收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0 ，aA 0，0,AAA：KdxxAA)(。 于是  AAdxxf)( AAdxxK)(， 所以 adxxf)(也收敛； 当 adxxf)(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 00 ，aA 0，0,AAA：KdxxfAA )(。 于是  AAdxx)(0)(1AAdxxfK， 所以 adxx)(也发散。 （2）设在[ ,)a   上有0)(,0)(xxf，且0)()(limxxfx。则当  adxxf)(发散时， adxx)(也发散；但当 adxxf)(收敛时， adxx)(可能收敛，也可能发散。 例如21)(xxf，)20(1)(pxxp，则0)()(limxxfx。显然有  1)(dxxf收敛，而对于 1)(dxx，则当21 p时收敛，当10 p时 279 发散。 设在[ ,)a   上有0)(,0)(xxf，且)()(limxxfx。则当 adxxf)(收敛时， adxx)(也收敛；但当 adxxf)(发散时， adxx)(可能发散，也可能收敛。 例如xxf1)(，)21(1)(pxxp，则)()(limxxfx。显然有  1)(dxxf发散，而对于 1)(dxx，则当 121 p时发散，当1p时收敛。 ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）。 证 定理8.2.3（Cauchy判别法） 设在[ ,)a    ( ,)0上恒有f x( )  0，K 是正常数。 ⑴ 若 f xKx p( ) ，且p  1，则 adxxf)(收敛； ⑵ 若 f xKx p( ) ，且p  1，则 adxxf)(发散。 推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[ ,)a    ( ,)0上恒有f x( )  0，且 lim( )xpx f xl ， 则 ⑴ 若 0  l，且p  1，则 adxxf)(收敛； ⑵ 若 0  l，...