切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理 以及与圆有关的比例线段 1 .切线长概念 切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 2 .切线长定理 如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。 3 .弦切角（如图2 ）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。 直线AB 切⊙O 于P，PC、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）APC,APD,BPD,BPC 4 .弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中APC=CDP 等 证明：如图2，连接CD、OC、OP，因为CPO=PCO,所以COP=180-2CPO 而CPO=90-APC,故COP=2APC,即CDP=APC。 5 .弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。 6 .遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。 7 .与圆有关的比例线段 定理 图形 已知 结论 证法 相交弦定理 ⊙O 中，AB、CD为弦，交于P. PA·PB＝PC·PD 连结AC、BD，C=B,A=D,所以△APC∽△DPB 相交弦定理的推论 ⊙O 中，AB 为直径，CD⊥AB于P. PC2＝PA·PB 用相交弦定理. 切割线定理 ⊙O 中，PT切⊙O于T，割线PB 交⊙O 于A PT2＝PA·PB 连结TA、TB，则∠ PTA=∠ B（弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA∽ △ PBT，所以 PT2＝PA·PB 图1 图2 切割线定理推论 PB、PD为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A、C PA·PB＝PC·PD 过 P 作 PT 切⊙O 于 T，用两次切割线定理 圆幂定理 ⊙O 中，割线PB交⊙O 于A，CD 为弦 P'C·P'D＝r2－OP'2 PA·PB＝OP2－r2 r 为⊙O 的半径 延长 P'O 交⊙O 于 M，延长 OP'交⊙O 于 N，用相交弦定理证；过 P 作切线用切割线定理勾股定理证 8 .圆幂定理：过一定点 P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点 P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。 例1 .如图1，正...
