均值不等式教案VIP免费

§ 3 .2 均值不等式 本节内容是选自人教版高中数学B 版必修五第三章第二节——均值不等式。它在不等式这一章中占有非常重要的地位，在不等式的证明中尤其突出。 一、教学目标 知识与技能：均值不等式的基本表达式；均值不等式所表达的几何意 义；能够应用均值不等式进行简单的证明 过程与方法：掌握数形结合的数学思想方法 情感态度价值观：数学来源于生活，善于从生活中去探索数学的奥秘 二、重难点 重点：均值不等式的证明与应用；“=”成立的条件 难点：均值不等式的几何意义；在怎样的情况下应用均值不等式 三、教学方法 讲授法 四、教学过程 （一）情境引入 某一届国际数学家大会的会标，我们将其中的几何图形抽象出来得到这样一个图形：已知的是直角三角形的两直角边分别为 a，b，那我们能否从其中找出一些不等关系？ 解答：图中四个直角三角形的面积总和为：142 ab 大的正方形的面积为：22ab 我们可以很直观地得出：22ab>2 ab 问：同学们再想一想，这个“>”可以换成“≥”吗？ 当直角三角形变为等腰直角三角形的时候，也即是 ab 时，这时，正方形EFGH 变为一点，可以得到222abab。 （二）得出结论并证明（基础） 一般地，,a bR,则222abab. 证明：2222()ababab 当ab 时，20ab ；当ab 时，2()0ab. 综上所述，可得222abab. （三）均值不等式的变式（重点） 若0 ,0 ,ab则2abab（当 ab 时，“=”取到） 需明确的两个概念：2ab 表示a 与b 的算术平均数 ； ab 表示a 与b 的几何平均数 。 证明（几何意义）： 如图：AC 是圆O的直径，点 D是 AC 上任一点，ADa ，CDb ，过点 D 做 BDAC交圆周于 B ，连接OB . 则22ACabOB 又 Rt ADBRt BDC，则 ADABDBBDBCDC 所以2BDADDCab•，也即 BDab 又OBBD，所以2abab. 所以其几何意义为：半径不小于半弦 （四）巩固应用 （1）已知ab、都是正数，求证：2abba . 证明：0 ,0 ,ab0 ,0abba ，由均值不等式可得 22aba bbab a ， 当且仅当abba且0 ,0ab 同时成立， 即ab 时，等号成立. （2 ）已知ab、都是正数，求证：2233338abababa b 证明： 2abab，22222aba b，33332aba b 2233ababab2233332228aba baba b （...