§ 3 .2 均值不等式 本节内容是选自人教版高中数学B 版必修五第三章第二节——均值不等式。它在不等式这一章中占有非常重要的地位,在不等式的证明中尤其突出。 一、教学目标 知识与技能:均值不等式的基本表达式;均值不等式所表达的几何意 义;能够应用均值不等式进行简单的证明 过程与方法:掌握数形结合的数学思想方法 情感态度价值观:数学来源于生活,善于从生活中去探索数学的奥秘 二、重难点 重点:均值不等式的证明与应用;“=”成立的条件 难点:均值不等式的几何意义;在怎样的情况下应用均值不等式 三、教学方法 讲授法 四、教学过程 (一)情境引入 某一届国际数学家大会的会标,我们将其中的几何图形抽象出来得到这样一个图形:已知的是直角三角形的两直角边分别为 a,b,那我们能否从其中找出一些不等关系? 解答:图中四个直角三角形的面积总和为:142 ab 大的正方形的面积为:22ab 我们可以很直观地得出:22ab>2 ab 问:同学们再想一想,这个“>”可以换成“≥”吗? 当直角三角形变为等腰直角三角形的时候,也即是 ab 时,这时,正方形EFGH 变为一点,可以得到222abab。 (二)得出结论并证明(基础) 一般地,,a bR,则222abab. 证明:2222()ababab 当ab 时,20ab ;当ab 时,2()0ab. 综上所述,可得222abab. (三)均值不等式的变式(重点) 若0 ,0 ,ab则2abab(当 ab 时,“=”取到) 需明确的两个概念:2ab 表示a 与b 的算术平均数 ; ab 表示a 与b 的几何平均数 。 证明(几何意义): 如图:AC 是圆O的直径,点 D是 AC 上任一点,ADa ,CDb ,过点 D 做 BDAC交圆周于 B ,连接OB . 则22ACabOB 又 Rt ADBRt BDC,则 ADABDBBDBCDC 所以2BDADDCab•,也即 BDab 又OBBD,所以2abab. 所以其几何意义为:半径不小于半弦 (四)巩固应用 (1)已知ab、都是正数,求证:2abba . 证明:0 ,0 ,ab0 ,0abba ,由均值不等式可得 22aba bbab a , 当且仅当abba且0 ,0ab 同时成立, 即ab 时,等号成立. (2 )已知ab、都是正数,求证:2233338abababa b 证明: 2abab,22222aba b,33332aba b 2233ababab2233332228aba baba b (...