基本不等式几大题型VIP免费

题型1 基本不等式正用 a＋b≥2 ab 例 1：(1)函数f(x )＝x ＋1x (x >0)值域为________； 函数f(x )＝x ＋1x (x ∈R )值域为________； (2)函数f(x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________． 解析：(1) x >0，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2， ∴f(x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当 x ∈R 时，f(x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1 ≥2x 2＋1· 1x 2＋1－1＝1， 当且仅当 x＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 4．(2013·镇江期中)若 x >1，则 x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x － 1＝ x － 1＋4x － 1＋ 1≥4＋ 1＝ 5. 当 且仅 当 x － 1＝4x － 1， 即 x ＝ 3 时 等 号 成 立 ． 答案：5 [例 1] (1)已知 x ＜0，则 f(x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________． (1) x ＜ 0， ∴－ x ＞ 0， ∴f(x )＝ 2＋ 4x ＋ x ＝ 2－ 4－ x ＋ － x  . － 4x ＋ (－ x )≥2 4＝ 4， 当 且仅 当 － x ＝4－ x， 即 x ＝ － 2 时 等 号 成 立 ． ∴f(x )＝ 2－ 4－ x ＋ － x  ≤2－ 4＝ － 2， ∴f(x )的 最 大 值 为 － 2. 例：当 x ＞0 时，则 f(x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：(1) x ＞ 0， ∴f(x )＝2xx 2＋ 1＝2x ＋ 1x≤22＝ 1， 当 且仅当 x ＝ 1x ， 即 x ＝ 1 时取等号． 3．函数 y ＝x 2＋2x －1 (x >1)的最小值是________． 解析： x >1， ∴x －1>0. ∴y ＝ x 2＋ 2x －1＝ x 2－2x ＋ 2x ＋ 2x －1 ＝ x 2－2x ＋ 1＋ 2x －1＋ 3x －1 ＝ x －12＋ 2x －1＋ 3x －1 ＝ x －1＋3x －1＋ 2 ≥2 x －1 3x －1＋ 2＝ 2 3＋ 2. 当 且仅当 x －1＝3x －1， 即 x ＝ 1＋3时， 取等号． 答案：2 3＋2 10．已知 x ＞0，a 为大于 2x 的常数， 求 y ＝1a－2x－x 的最小值． 解：y ＝1a－2x＋ a－2x2－a2≥2 12－a2＝2－a2. 当 且仅当 x ＝ a－ 22时取等号． 故 y ＝1a－2x－x 的最小值为 2－a2. 题型2 基本不等式反用 ab≤a＋b2 例：(1)函数 f(x )＝x (1－x )(0