第一章数理统计的基本概念课后习题参考答案1.1 设对总体 X 得到一个容量为10 的子样值： 4.5，2.0，1.0，1.5，3.4，4.5，6.5，5.0，3.5，4.0，试分别计算子样均值X 和子样方差2S 的值。解：12,nXXXK为总体 X 的样本，根据121 ()nXXXXnL求得 X =3.59；根据2211()niiSXXn求得2S =2.5929。1.2 设总体 X 的分布函数为xF，密度函数为xf，nXXX,,,21为 X 的子样，求最大顺序统计量nX与最小顺序统计量1X的分布函数与密度函数。解：将总体 X 中的样本按照从小到大的顺序排列成nXXX21nnnnxFxxPxxPxxPxxPxF21xfxnFxFxfnnn1'nnnxFxxPxxPxxPxxPxxPxxPxxPxF1111111212111xfxFnxFxfn 1111'1.3 设总体 X 服从正态分布N(12,4), 今抽取容量为5 的子样521,,,XXX，试问：(1)子样的平均值X 大于 13 的概率为多少？(2)子样的极小值 (最小顺序统计量)小于 10 的概率为多少？(3) 子样的极大值 (最大顺序统计量)大于 15 的概率为多少？解：nIiXnXNX121,,~5412,N~X5411212121nXDnXDXEnXEniinii，(1)1314.08686.0112.1n/-X15/41213n/-XP-113XP-113XPP(2) 5785.08412.011-XP-121210-XP-110P-110P551i51i51miniiiiXX(3) 2923.093315.015.1-XP-121215-XP-115P-115P551i51i51maxiiiiXX1.4 试证：（1）22211()()()nniiiixaxxn xa对任一实数a 成立。并且此证明当ax 时，21()niixa达到极小。（2）22211()nniiiixxxnx其中11niixxn证明：（1）2211()()nniiiixaxxxa22111()()2()()nnniiiiixxxaxx xa221211()()2()()nniniixxxaxxxnxxaL2211()()nniiixxxa221()()niixxn xa222111()2nnniiiiiixaxnaax21(2)niixn aax求函数的极值，对变量进行求导，这里对变量a 求导得220ax即ax根据数学分析中的结论，当仅有一个极值时，那么同时也是其相应的最值。(2)22111()2nnniiiiiixxxnxxx21212 ()ninixnxx xxxL2212niixnxnx21niixnx1.5 设nXXX,,,21为正态总体2,N的样本，令niiXnd11试证：nddE221D2 ，证明 : 令iixy则2,0~ Nyi2212202202iyiiiiidyeydyyfyyEdEinnxExEnxDnxnDdniniiiniiini2122212221212121111D1.6 设总体 X 服从正态2,N，nXXX,,,21为其子样，X 与2S 分别为子样均值与方差。又设1nX与nXXX,,,21独立同分布，试求统计量111nnSXXYN的分布。解：01111111niinniinnXEnXEXnXEXXE2212111111111nnXDnnXDnnXnXnnDXXDinniinn1,0~21nnNXX n又1~222nnS1~111111ntnnSXXYnSnnnXXNn1.7 设( ),Tt n:求证2(1, )TFn:证明：设2(0,1),( ),XNY...
