第一章 曲线论 §1 向量函数 1 . 证明本节命题 3 、命题 5 中未加证明的结论。 略 2 . 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以 。 证毕 3 . 证明 证： 证毕 4 . 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间 上的向量函数，因为 在区间 上可导当且仅当数量函数 ，和在区间 上可导。所以，，根据数量函数的 Lagrange 中值定理，有 其中，，介于与 之间。从而 上式为向量函数的 0 阶 Taylor 公式，其中。如果在区间 上处处有，则在区间 上处处有，从而，于是。 证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数， 为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。 证毕 6 . 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量 ，使得，对此式连续求导，依次可得 和 ，从而 ，，和共面，因此 。 充分性：设，即，其中，如果，根据第 5 题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数， 为单位常向量，任取一个与 垂直的单位常向量 ，于是作以为法向量过原点的平面 ，则 平行于 。如果，则 与不共线，又由 可知， ， ，和共面，于是 ， 其中，为数量函数，令，那么，这说明 与共线，从而，根据第 5 题的结论知， 具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数， 为单位常向量，作以 为法向量，过原点的平面 ，则 平行于 。 证毕 §2曲线的概念 1 . 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，， ，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2 . 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3 . 证明圆柱螺线的切线和 轴成固定角。 证： 令 为切线与 轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则 证毕 4 . 求悬链线从起计算的弧长。 解： 5 . 求抛物线对应于的一段的弧长。 解： 6 . 求星形线，的全弧长。 解： 7 . 求旋轮线，对应于一段的弧长。 解： 8 . 求圆柱螺线从它与平面的交点到任意点的弧长。 解：圆柱螺线与平面的交点...
