-179- 第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22xydxdy+=，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 § 1 常微分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 ⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=0)(),(yaybxayxfdxdy (1) 在下面的讨论中，我们总假定函数 ),(yxf连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得 |||),(),(|yyLyxfyxf−≤− 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(xy在若干点 bxxxxaN =<<<<=L210 处的近似值),,2,1(NnynL=的方法，),,2,1(NnynL=称为问题（1）的数值解，nnnxxh−=+1称为由nx 到1+nx的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。 建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采 用以下几 种 方法： （i）用差 商 近似导 数 若用向 前 差 商hxyxynn)()(1 −+代 替)('nxy代 入 （1）中的微分方程，则 得 ),1,0())(,()()(1L=≈−+nxyxfhxyxynnnn 化简得 ))(,()()(1nnnnxyxhfxyxy+≈+ 如果用)(nxy的近似值ny 代 入 上 式右 端 ，所得结 果作 为 )(1+nxy的近似值，记 为1+ny，则 有 ),1,0(),(1L=+=+nyxhfyynnnn （2） 这样，问题（1）的近似解可通过 求解下述 问题 ⎩⎨⎧==+=+)(),1,0(),(01ayynyxhfyynnnnL （3） 得到，按 式（3）由初值0y 可逐 次 算 出 L,,21 yy。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。 -180- 需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。 （ii）用数值积分方法 将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端积分，得 ∫+==−+1),1,0())(,()()(1nnxxnnndxxyxfxyxyL (4) 右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。 （iii）Tay lor 多项式近似 将函数)(xy在nx 处展开，取一次 Tay lor 多项式近似，则得 ))(,()()(')()(1nnnnnnxyxhfxyxhyxyxy+=+≈+ 再将)(nxy的近似值ny 代入上式右端，所得结果作为)(1+nxy的近似值1+ny，得到...
