§3 二阶偏微分方程的分类 一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程 (1) 式中 aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为 x1,x2,…,xn的已知函数. [特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程 称为二阶方程(1)的特征方程；这里 a1,a2,…,an是某些参数，且有.如果点 x=(x1,x2,…,xn)满足特征方程，即 则过x的平面的法线方向l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1,x2,…,xn)，根据二次型 (ai为参量) 的特征根的符号，可将方程分为四类： (i) 特征根同号，都不为零，称方程在点 P 为椭圆型. (ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型. (iii) 特征根都不为零，有个具有同一种符号(n>m>1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型. (iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型. 若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型. 在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式： 椭圆型： 双曲型： 超双曲型： 抛物型： 式中Φ为不包含二阶导数的项. [两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为 (2) a11,a12,a22为x,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程 a11dy2a12dxdy+a22dx2=0 称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P(x0,y0)的邻域D 内，根据Δ=a122－a11a12的符号将方程分类： 当Δ>0 时，方程为双曲型； 当Δ=0 时，方程为抛物型； 当Δ<0 时，方程为椭圆型. 在点 P 的邻域 D 内作变量替换，可将方程化为标准形式： （i） （i） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线，，作变换，和方程化为标准形式 或 （ii） （ii） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，方程化为标准形式 （iii） （iii） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设 为的积分，不同时为零，作变量替换， ,方程化为标准形式
