二面角的几种求法VIP专享VIP免费

1 二面角的几种求法 4.1 概念法 顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。 例 1：如图 2 所示，在四面体 ABCD 中，1ACAB ,2CDBD,3AD 。求二面角ABCD的大小。 图 2 分析：四面体 ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。 解：设线段 BC 的中点是E，接AE和 DE。 根据已知的条件1ACAB ，2CDBD，可以知道 AEBC且 DEBC。又 BC是平面ABC 和平面DBC 的交线。 根据定义，可以得出：AED即为二面角ABCD的平面角。 可以求出32AE ， 3DE ，并且3AD 。 根据余弦定理知： 2222223()( 3)372cos243232AEDEADAEDAE DE  即二面角ABCD的大小为7arccos 4 。 同样，例 2 也是用概念法直接解决问题的。 2 例2：如图3 所示，ABCD 是正方形，PBABCD 平面，1PBAB ，求二面角APDC的大小。 图3 解：作辅助线CEPD于点E，连接AC 、 AE。 由于ADCD，PAPC，所以PADPCD三角形三角形。即 AEPD。由于CEPD，所以AEC即为所求的二面角的大小。 通过计算可以得到： 2PC ， 3PD ，又1CD  ，在三角形PCD 中可以计算得到63CE 。由此可以得到：63AECE，又2AC 。 由余弦定理：222222133cos2222 3AECEACAECAEAC  即：23AEC。 4.2 空间变换法 空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。 下面用例3 介绍三垂线法、补角法和垂面法。 3 例3：如图4 所示，现有平面 和平面 ，它们的交线是直线DE，点F 在平面 内，点C 在平面 内。求二面角 FDEC的大小。 图4 分析：过点C 作辅助线CA 垂直于 DE，作 CB 垂直于平面 于点B 。 4.2.1 补角法 直接求解二面角 FDEC的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角CDEB。因为二面角 FDEC与二面角 CDEB是互补的关系，现在先求出二面角CDEB后，二面角 FDEC的大小就很容易计算了。 4.2.2 三垂线法 由于CADE，CB  平面 。那么根据三垂线定理可以得知：CA 在平面 内的射影 AB 垂直于两平面的交线DE。即 ACDE且 ABDE，根据定义可知，二面角CDEB的大小即为CAB的大小。那么二面角 FDEC的大小可以用补角法得到。 4.2.3 切平面法 切面法的基本思想是做一个垂面，...