五种方法法求二面角及限时练习VIP免费

五种方法求二面角及练习题 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1 中从二面角S—AM—B 中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM 作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F）作棱AM 的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009 全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD中，底面ABCD 为矩形，SD  底面ABCD ， 2AD  2DCSD，点M 在侧棱SC 上，ABM=60° （I）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II）求二面角S AMB的大小。 证（I）略 解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B作BFAM交 AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GFAM，GF 交 AS 于 G， 连结 AC， △ADC≌△ADS，∴AS-AC，且 M 是SC 的中点， ∴AM⊥SC， GF⊥AM，∴GF∥AS，又 F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB即为所求二面角. 2SM，则22GF，又 6 ACSA，∴2AM 2 ABAM，060ABM∴△ ABM 是等边三角形，∴3BF 在△GAB 中， 26AG，2AB，090GAB，∴211423BG 366232222113212cos222FBGFBGFBGFBFG ∴二面角S AMB的大小为)36arccos( F G F G 练习1（2008 山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD 为菱形，PA⊥平面ABCD，60ABC,E，F 分别是BC, PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62 ，求二面角E—AF—C 的余弦值. 分析：第 1 题容易发现，可通过证AE⊥AD 后推出 AE⊥平面APD，使命题获证，而第 2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边 SE 与SC，进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为515） 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通...