函数的极限与连续VIP免费

1 第一章 函数的极限与连续 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念. §1 -1 函数 一、函数的概念 定义 1 .1 设有一非空实数集 D，如果存在一个对应法则 f ，使得对于每一个Dx ，都有一个惟一的实数y 与之对应，则称对应法则 f 是定义在D 上的一个函数. 记作 y=f(x)，其中x 为自变量，y 为因变量，习惯上称 y 是x 的函数，D 称为定义域. 当自变量 x 取定义域 D 内的某一定值0x 时，按对应法则 f 所得的对应值 y0， 称为函数y=f(x)在x =x 0 时的函数值，记作 f(x 0)，即 y0=f(x 0). 当自变量 x 取遍 D 中的数，所有对应的函数值 y 构成的集合称为函数的值域，记作 M，即 DxxfyyM),( 例 1 已知1)(2xxxf，求)0(f，)1(f，)( xf  解 1100)0(2f 1111)1(2f 11)()()(22xxxxxf 例 2 求下列函数的定义域. （1）142  xy (2))1ln(62xxxy 解（1）1,012xx，所以定义域为),1()1,1()1,(x （2）01062xxx132xx，所以定义域为3,1x 由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之惟一确定. 因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素. 如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数. 反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数. 例如：xxxf22cossin)( 与 1)(x,因为1cossin22xx,即这两个函数的对应法则相同，而且定义域均为 R，所以它们是相同的函数. 又如11)(2 xxxf与1)( xx，虽然112xx1 x，但由于这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数. 通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法（或称公式法）.三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用. 二、函数的性质 1 、 单调性 设函数)(xfy 在（ba,）内有定义，若对（ba,）内的任意两点21,xx，当21 xx 时，有 )()(21xfxf，则称)(xfy 在（ba,）内单调增加；若当21 xx 时，有)()(21xfxf，则称)(xf在（ba,...