(名师讲坛)版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 微切口19 椭圆中k1k2＝－a2分之b2的应用课件VIP专享VIP免费

专题五 解析几何 微切口 19 椭圆中“k1·k2＝－b2a2”的应用 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 1，F 2 分别为椭圆x24＋y2b2＝1 的左、右焦点，B，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2 与椭圆的另一交点为 D. 若 cos∠F 1BF 2＝12，则直线 CD 的斜率为________． 34 【思维引导】 【解析】因为 cos∠F 1BF 2＝12，所以∠F 1BF 2＝60°， 所以∠OBF 2＝30°.在 Rt△BOF 2 中，因为 BF 2＝2， 所以 OB＝ 3＝b，∠BF 2O＝60°， 所以直线 BD 的倾斜角为 120°， 所以直线 BD 的斜率为 kBD＝－ 3. 由椭圆中的斜结论可知 kBD·kCD＝－b2a2＝－34，所以 kCD＝ 34 . 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2a2＋y2b2＝ 1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为 A，B，M 为线段 AB 的中点，且OM→ ·AB→＝－32b2. (1) 求椭圆的离心率； 【思维引导】 【解答】 因为 A(a,0)，B(0，b)， 所以由 M 为线段 AB 的中点，得 Ma2，b2 ， 所以OM→ ＝a2，b2 ，AB→＝(－a，b)． 因为OM→ ·AB→＝－32b2， 所以a2，b2 ·(－a，b)＝－a22 ＋b22 ＝－32b2， 整理得 a2＝4b2，即 a＝2b. 因为 a2＝b2＋c2，所以 3a2＝4c2，即 3a＝2c， 所以椭圆的离心率 e＝ca＝ 32 . (2) 已知 a＝2，四边形 ABCD 内接于椭圆，AB∥DC，记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1·k2 为定值． 【解答】 方法一：由 a＝2，得 b＝1，故椭圆的方程为x24＋y2＝1， 从而 A(2,0)，B(0,1)，直线 AB 的斜率为－12. 因为 AB∥DC，故可设 DC 的方程为 y＝－12x＋m， 设 D(x1，y1)，C(x2，y2)． 联立 y＝－12x＋m，x24＋y2＝1，消去 y，得 x2－2mx＋2m2－2＝0， 所以 x1＋x2＝2m，从而 x1＝2m－x2， 所以直线 AD 的斜率 k1＝ y1x1－2＝－12x1＋mx1－2， 直线 BC 的斜率 k2＝y2－1x2 ＝－12x2＋m－1x2， 所以 k1·k2＝－12x1＋mx1－2·－12x2＋m－1x2 ＝14x1x2－12m－1x1－12mx2＋mm－1x1－2x2 ＝14x1x2－12mx1＋x2＋12x1＋mm－1x1x2－2x2 ＝14x1x2－12m·2m＋122m－x2＋mm－1x1x2－2x2 ＝14x1x2－12x2x1x2－2x2 ＝14， 即 k1·k2 为定值14. 方法二：由 a＝2，得 b＝1，故椭圆的方程为x24＋y2＝1， 从而 A(2,0)，B(0,1)，直线 AB 的斜率为－12. 设C(x0，y0)...