2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 问题提出t57301p21. 用有向线段表示向量，使得向量可以进行线性运算和数量积运算，并具有鲜明的几何背景，从而沟通了平面向量与平面几何的内在联系，在某种条件下，平面向量与平面几何可以相互转化 . 2. 平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来 . 因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结 . 探究（一）：推断线段长度关系 思考 1 ：如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=2 ， AD=1 ， BD=2 ，那么对角线AC 的长是否确定？ABCD思考 2 ：设向量 a ， b ，则向量 等于什么？向量 等于什么？ AB =uuurAD =uuurACuuurDBuuurACuuur =a+b, =a-b DBuuur 思考 3 ： AB=2 ， AD=1 ， BD=2 ，用向量语言怎样表述？|a|=2 ， |b|=1 ， |a-b|=2.思考 4 ：利用 ，若求 需要解决什么问题？22||()ACAC=uuuuruuur||ACuuurABCDab思考 5 ：利用 |a|=2 ， |b|=1 ， |a － b|=2 ，如何求 a·b ？ 等于多少？||ACuuur1,||62a bAC× ==uuur 思考 6 ：根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍 . 思考 7 ：如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ 探究（二）：推断直线位置关系 思考 1 ：三角形的三条高线具有什么位置关系？ 交于一点思考 2 ：如图，设△ ABC 的两条高 AD 与BE 相交于点 P ，要说明 AB 边上的高 CF经过点 P ，你有哪些办法？ ABCDEFP证明 PC⊥AB. c·(a － b) ＝ 0. 思考 3 ：设向量 a ， b ， c ，那么 PC⊥BA 可转化为什么向量关系？ PA =uuurPB =uuurPC =uuurABCDEFPabc思考 4 ：对于 PA⊥BC ， PB⊥AC ，用向量观点可分别转化为什么结论？a·(c － b) ＝ 0 ， b·(a － c)＝ 0. 思考 5 ：如何利用这两个结论 : a·(c － b) ＝ 0 ， b·(a －c) ＝ 0 推出 c·(a － b)＝ 0 ？ 思考 6 ：你能用其它方法证明三角形的三条高线交于一点吗？ABCDEFP 探究（三）：计算夹角的大小 思考 1 ：如图，在等腰△ ABC 中， D 、E 分别是两条腰 AB 、...
