一、配方法 形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值域 , 要注意 f(x) 的取值范围 . 例 1 (1) 求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域 : 二、换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法 , 把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法 ( 关注新元范围 ).例 2 求下列函数的值域 :(1) y=x- x-1 ; (2) y=x+ 2-x2 ; (3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 .①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 11]; [2, 6]; [3, 6]. 34[ , +∞)(2) 求函数 y=sin2x+4cosx+1 的值域 . [-3, 5]. [0, + 2 ] 32[- 2 , 2] 三、方程法四、分离常数法利用已知函数的值域求给定函数的值域 .例 3 求下列函数的值域 : 2x+1 2x (1)y= ; sinx-3 (2)y= ; sinx+2 (3)y=3+ 2+x + 2-x ; 主要适用于具有分式形式的函数解析式 , 通过变形 , 将函数化成 y=a+ 的形式 .b g(x) 例 4 求下列函数的值域 : 2x+1 2x (1)y= ; sinx-3 (2)y= . sinx+2 (0, 1) 32[- , - ]14(0, 1) 32[- , - ]14(4) 若 f(x) 的值域为 [ , ], 求 y=f(x)+ 1-2f(x) 的值域 .49387879[ , ] [5, 3+2 2 ] 五、判别式法例 5 求函数 y = 的值域 . x2+x+1 x2-x 主要适用于形如 y = (a, d 不同时为零 ) 的函数( 最好是满足分母恒不为零 ).ax2+bx+c dx2+ex+f 六、均值不等式法(1)y= ; x2+1 2x例 6 求下列函数的值域 : (2)y= (x>1) . x-1 x2-2x+5 [-1, 1] [4, +∞) 能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域 . 利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域 . 要注意满足条件“一正、二定、三等” . [1- , 1+ ]2 332 33 七、利用函数的单调性八、数形结合法 主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0) 形式的函数 ; (2)利用基本不等式不能求得 y=x+ (k>0) 的最值 ( 等号不成立 )时 .k x 例 7 求下列函数的值域 : (1)y= 1-2x - x ; (2)y=x+ (0
