2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义 问题提出t57301p2 1. 向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为 0° ， 90° ，180° 时，这两个向量的位置关系如何？ 2. 任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律 . 由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析 . 探究（一） : 平面向量数量积的背景与含义 W ＝︱ F ︱︱ s ︱ cosθ 思考 2 ：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量 F 与 s “ 数量积” . 一般地，对于非零向量 a 与 b 的数量积是指什么？ 思考 1 ：如图，一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ，且力 F 与位移 s 的夹角为 θ ，那么力 F 所做的功 W 是多少？ sFθ 思考 3 ：对于两个非零向量 a 与 b ，设其夹角为 θ ，把︱ a| ︱ b ︱ cosθ 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 a·b ，即 a·b= ︱ a| ︱ b ︱ cosθ. 那么 a·b 的运算结果是向量还是数量？ 思考 4 ：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 0·a=0 思考 5 ：对于两个非零向量 a 与 b ，其数量积 a·b 何时为正数？何时为负数？何时为零？ 当 0°≤θ ＜ 90° 时， a·b ＞ 0 ；当 90° ＜ θ≤180° 时， a·b ＜ 0 ；当 θ ＝ 90° 时， a·b ＝ 0.a·b= ︱ a| ︱ b ︱ cosθ 思考 6 ：对于两个非零向量 a 与 b ，设其夹角为 θ ，那么︱ a ︱ cosθ 的几何意义如何？aθbOABA1思考 7 ：对于两个非零向量 a 与 b ，设其夹角为 θ ，︱ a ︱ cosθ 叫做向量 a在 b 方向上的投影 . 那么该投影一定是正数吗？向量 b 在 a 方向上的投影是什么？ 不一定；︱ b ︱ cosθ.|a|cosθ 思考 8 ：根据投影的概念，数量积a·b= ︱ a| ︱ b ︱ cosθ 的几何意义如何？ 数量积 a·b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影︱ b ︱ cosθ 的乘积，或等于 b的模与 a 在 b 方向上的投影︱ a ︱ cosθ的乘积， 探究（二）：平面向量数量积的运算性质 思考 1 ：设 a 与 b 都是非零向量，若 a⊥b ，则 a·b 等于多...
