(名师讲坛)版高考数学二轮复习 专题五 解析几何 微切口锥曲线中设点与解点问题课件VIP专享VIP免费

专题五 解析几何 微切口 20 圆锥曲线中设点与解点问题 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝ 1(a＞b＞0)的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点． (1) 若点 C 的坐标为2，53 ，求 a，b 的值； 【思维引导】 【解答】 因为椭圆的离心率为23，所以 a2－b2a＝23，即b2a2＝59.① 又因为点 C2，53 在椭圆上，所以 4a2＋ 259b2＝1.② 联立①②，解得 a2＝9，b2＝5.因为 a＞b＞0，所以 a＝3，b＝ 5. 所以 5x22＋9y22＝5a2，512x2－a 2＋9y222＝5a2，解得 x2＝a4，y2＝ 5a4 3，所以直线AB的斜率为k＝ y2x2 ＝5 33 . (2) 设 A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB→＝12OC→ ，求直线 AB 的斜率． 【解答】 由(1)知b2a2＝59，所以椭圆的方程为x2a2＋9y25a2＝1，即 5x2＋9y2＝5a2，则 A(－a,0)． 设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，由AB→＝12OC→ ，得(x1＋a，y1)＝12x2，12y2 ，所以 x1＝12x2－a，y1＝12y2. 因为点 B，C 都在椭圆 5x2＋9y2＝5a2 上， 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，焦距为 2，一条准线方程为 x＝2.P 为椭圆 C 上一点，直线 PF 1 交椭圆 C于另一点 Q. (1) 求椭圆 C 的方程； 【解答】 由题意知 2c＝2，a2c ＝2，解得 c＝1，a2＝2，所以 b2＝a2－c2＝1， 所以椭圆的方程为x22＋y2＝1. (2) 若F1P→ ＝λQF1→ ，且 λ∈12，2 ，求OP→ ·OQ→ 的最大值． 【解答】方法一：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则F1P→ ＝(x1＋1，y1)，QF1→ ＝(－1－x2，－y2)． 因为F1P→ ＝λQF1→ ， 所以 x1＋1＝λ－1－x2，y1＝－λy2，即 x1＝－1－λ－λx2，y1＝－λy2， 所以 －1－λ－λx222＋λ2y22＝1，x222＋y22＝1，解得x2＝1－3λ2λ ， 所以OP→ ·OQ→ ＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy22 ＝－λx22－(1＋λ)x2－λy22＝－(1＋λ)x2－λ－λ2x22 ＝－λ21－3λ2λ2－(1＋λ)·1－3λ2λ －λ＝74－58λ＋1λ . 因为 λ∈12，2 ，所以 λ＋1λ≥2λ·1λ＝2，当且仅当 λ＝1λ，即 λ＝1 时等号成立， 所以OP→ ·OQ→ ≤12，即OP→ ...