用 心 爱 心 专 心 初 中 数 学 竞 赛 专 题 辅 导 因 式 分 解 (一 ) 多 项 式 的 因 式 分 解 是 代 数 式 恒 等 变 形 的 基 本 形 式 之 一 ，它 被 广 泛 地 应 用于 初 等 数 学 之 中 ，是 我 们 解 决 许 多 数 学 问 题 的 有 力 工 具 ．因 式 分 解 方 法 灵 活 ，技 巧 性 强 ， 学 习 这 些 方 法 与 技 巧 ， 不 仅 是 掌 握 因 式 分 解 内 容 所 必 需 的 ， 而 且对 于 培 养 学 生 的 解 题 技 能 ，发 展 学 生 的 思 维 能 力 ，都 有 着 十 分 独 特 的 作 用 ．初中 数 学 教 材 中 主 要 介 绍 了 提 取 公 因 式 法 、 运 用 公 式 法 、 分 组 分 解 法 和 十 字 相乘 法 ． 本 讲 及 下 一 讲 在 中 学 数 学 教 材 基 础 上 ， 对 因 式 分 解 的 方 法 、 技 巧 和 应用 作 进 一 步 的 介 绍 ． 1． 运 用 公 式 法 在 整 式 的 乘 、 除 中 ， 我 们 学 过 若 干 个 乘 法 公 式 ， 现 将 其 反 向 使 用 ， 即 为因 式 分 解 中 常 用 的 公 式 ， 例 如 ： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下 面再补充几个 常 用 的 公 式 ： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其 中 n 为 正整 数 ； (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)， 其 中 n 为 偶数 ； (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)， 其 中 n 为 奇数 ． 运 用 公 式 法 分 解 因 式 时， 要 根据多 项 式 的 特 点， 根据字 母、 系数 、 指数 、符号等 正确恰当地 选择公 式 ． 用心 爱心 专心 例1 分解因式： (1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) ...
