处理有关“恒成立”的思路方法 乐山市井研县马踏中学 廖德俊 与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。 一． 恒成立问题的基本类型 按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全 体实 数集 上某关系的恒成立问题。 二． 处理恒成立问题的基本思路 处理与恒成立有关的问题大 致 可分以下 两 种 方法 ① 变 量 分离 思路处理； ② 利用函数的性质，图象思路处理。 若 不等式中出 现两 个变 量 ，其 中一个变 量 的范 围 已 知，另 一个的范 围 为所求 ，且容易 通 过 恒等变 形将 两 个变 量 分别置 于不等号 的两 边 ，则可将 恒成立问题转 化为函数的最 值 问题求 解。 在不等式的恒成立问题中，以下 充 要条 件 应 细 心 思考，甄 别差 异 ，性质使 用。 21例2：若不等式x2+ax+10对一切x(0,]成立,则a的取值范围为（ ）25 A. 0 B. -2 C. - D.-32111解析：由于x(0,], a21115()在(0,]上单调递增，在x= 取得最小值2225,故选2方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在： 1，利用一次函数的图象性质 xxxxfxxxaC若原题可化 为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得： f(m)0 f(x)0，x[m,n]恒成立{f(n)0f(m)0 f(x)0，x[m,n]恒成立{f(n)0 2，利用二次函数的图象性质： 220 若 f(x)=ax+bx+c (a0)大于0恒成立{0 若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。 例1： 函数f(x)是奇函数，且在[-1,1]单调递增，又f(-1)=-1，若 f(x)t-2at+1对所有的a[-1,1]都成立，求t的取值范围 解析： 不等式中有三个变元...
