平面对量飞驰定理与三角形四心已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：如图 2 延长与边相交于点则图 1 图 2 推论:是内的一点，且，则有此定理可得三角形四心向量式是的重心是的内心是的外心是的垂心 OCABD证明：如图为三角形的垂心，同理得，飞驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2 三角形“四心”的有关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2：1；(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。与“重心”有关的向量问题1 已知是所在平面上的一点，若，则是的( )．A．重点B．外心C．内心D．垂心如图⑴.A'GCAB 2 已 知是 平 面 上 一 定 点 ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点满 足，，则的轨迹一定通过的( ).A．重点B．外心C．内心D．垂心图⑴图⑵MPCBAO【解析】由题意，当时，由于表达边上的中线所在直线的向量，因此动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵.3 .O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A．内心B．重心C．外心D．垂心解：作出如图的图形 AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD，∴=由加法法则知，P 在三角形的中线上故动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心故选：B．与“垂心”有关的向量问题3 是所在平面上一点，若，则是的( )A．重点B．外心C．内心D．垂心【解析】由，得，即，因此．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶.PABC 4 已 知是 平 面 上 一 定 点 ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点满 足，， 则 动 点的 轨 迹 一 定 通 过的( )．A．重点B．外心C．内心D．垂心【解析】由题意，由于，即,因此表达垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，因此动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷.5 若为所在平面内一点，且则点是的( )图⑶图⑷HFEMABCOPBCHA图 6A．重点B．外心C．内心D．垂心证明: 得即 同理， 故 H 是△ABC 的垂心与“内心”有关的向量问题6 已 知为所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且，， ． 若，则是的( )．A．重点 B．外心C．内心D．垂心 【解析】 ，，则由题意得，图⑸图⑹ABCOPbacIACB ，∴． 与分别为和方向上的单位向量，∴与...
