平面对量中三点共线定理的应用知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量的充要条件是：存在唯一的实数，使由该定理能够得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中 A、B、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的 O，存在唯一的一对实数 x,y 使得：且 特别地有：当点 P 在线段 AB 上时， 当点 P 在线段 AB 之外时，典例剖析例1、 已知是的边上的任一点，且满足，则 的最小值是 分析：点 P 落在的边 BC 上 B，P,C 三点共线 由基本不等式可知：，取等号时，符合因此的最小值为 9点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考察了学生基本功.例 2、在△ABC 中，，点 P 是 BC 上的一点，若，则实数 m 的值为（ ）A． B. C. D. 分析：三点共线，又 ，故选 C例 3、在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若＝ m，＝n，则 m＋n 的值为 ．： 由于 O 是 BC 的中点，故连接 AO，如图 4，由向量加法的平行四边形法则可知：，又三点共线，由平面内三点共线定理可得： 变式、直线 l 过ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 的交点 O，与 AD 边交于点 N,与 AB 的延长线交于点 M。又知＝ m，＝n，则 m＋n= 图 4分析：由于点 O 两条对角线 AC 与 BD 的交点，因此点 O 为 AC 的中点 ＝ m，＝n 又三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得： 例 4、点是△的重心， 、 分别是边、上的动点，且、 、 三点共线．设，，证明：是定值；证明：由于 G 是的重心，分析： 又三点共线， 为定值 3例 5、如图所示,在平行四边形 ABCD 中，,,CE 与 BF 相交于 G 点，记，，则_______分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，因此我们很容易联想到点 F、G、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：三点共线， 由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x 使得 , ,…………………①又三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得 ，，…………………………… ②由①②两式可得： 点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B 以及 E,G,C 三点在一条直线上）PABCMN变式 2、在三角形 ABC 中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN 与 CM 相交于点P，且，，试用、表达解：三点共线， 由...
