常微分方程的数值解法实验报告VIP专享VIP免费

常微分方程的数值解法 专业班级：信息软件 姓名：吴中原 学号：1 2 0 1 0 8 0 1 0 0 0 2 一、实验目的 1、熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序； 2、明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；通过计算更加了解各种 算法的优越性。 二、实验题目 1、根据初值问题数值算法，分别选择二个初值问题编程计算； 2、试分别取不同步长，考察某节点 jx 处数值解的误差变化情况； 3、试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常； 4、分析各个算法的优缺点。 三、实验原理与理论基础 （一） 欧拉法算法设计 对常微分方程初始问题 (6-1) (6-2) 用数值方法求解时，我们总是认为(6-1)、(6-2)的解存在且唯一。 欧拉法是解初值问题的最简单的数值方法。从(6-2)式由于 y (x0) = y0 已给定，因而可以算出),()('000yxfxy。 设 x1 = h 充分小，则近似地有： ),()(')()(00001yxfxyhxyxy (6-3) 记 ,n,,ixyyii10 )( 从而我们可以取 ),(0001yxhfyy 作为)(1xy的近似值。利用1y 及 f (x1, y1)又可以算出)(2xy的近似值： ),(1112yxhfyy 一般地，在任意点hnxn11处)(xy的近似值由下式给出 ),(1nnnnyxhfyy (6-4) 这就是欧拉法的计算公式，h 称为步长。  )( ),(dd00yxyyxfxy （二）四阶龙格-库塔法算法设计： 欧拉公式可以改写为： 111 ,iiiiyykkhf x y ，它每一步计算,f x y 的值一次，截断误差为 2o h。 改进的欧拉公式可以改写为：11212112,,iiiiiiyykkkhf x ykhf xh yk ，它每一步要计算,f x y 的值两次，截断误差为 3o h。 改进的欧拉方法之所以比欧拉方法具有更高的精度，是因为在每一步它都比欧拉方法多计算了一次,f x y 的值。因此，要进一步提高精度，可以考虑在每一步增加计算,f x y 的次数。 如果考虑在每一步计算,f x y 的值四次，则可以推得如下公式： 1123412132431226, 1,221,22,iiiiiiiiiiyykkkkkhfxyhkhfxykhkhfxykkhfxhyk 此公式称为标准四阶龙格-库塔(Ru nge-Ku tta)公式，它的截断误差为 5o h。虽然用龙格-库塔方法每一步需要四次调用f ，计算量较改进的欧拉方法大一倍，这里由于龙...