常见的几个函数不等式及其应用VIP免费

1 常见的几个函数不等式及其应用 武汉市教育科学研究院 孔峰 在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式. 一、函数不等式的介绍 （1）)1()1ln (1xxxxx ① 证明：令xxxf)1ln ()(，则xxxxf1111)(. 当01x时， 0)( xf；当0x时， 0)( xf. 所以)(xf在0x时取得极大值，故0)0()( fxf， 所以)1()1ln (xxx. 令xxxxg1)1ln ()(，则22)1()1()1(11)(xxxxxxxg. 当01x时， 0)( xf；当0x时， 0)( xf. 所以)(xf在0x时取得极小值，故0)0()( gxg， )1)(1ln (1xxxx. 综上可知，)1()1ln (1xxxxx. 变式：)0(1lnxxx， ② )0(11lnxxx. ③ （2）)1)(1(21lnxxxx ④ )10)(1(21lnxxxx ⑤ 证明：令)1(21ln)(xxxxf，则02)1()11(211)(22xxxxxf. 所以函数)(xf在),0(  单调递减. 所以，当1x时，0)1()( fxf；当10 x时，0)1()( fxf. 所以，不等式④，⑤成立. 变式：)0(1)1ln (xxxx ⑥ （3）)1(1)1(2lnxxxx ⑦ )10(1)1(2lnxxxx ⑧ 证明：令1)1(2ln)(xxxxf，则0)1()1()(22 xxxxf. 所以函数)(xf在),0(  单调递增. 当1x时，0)1()( fxf；当10 x时，0)1()( fxf. 所以，不等式⑦，⑧成立. （4）)10(211)1ln (112ln1xxx ⑨ 2 证明：令xxxf1)1ln (1)(，则221)1(ln)1(1)(xxxxf， 而)1(ln]1)1][ln (1)1[ln ()1(ln1)1(ln)(222222xxxxxxxxxxxxxxf， 由⑥式)0(1)1ln (xxxx知， 0)( xf， 所以)(xf在10 x上为减函数，12ln1)1()( fxf. 由⑦式)1(1)1(2lnxxxx知211)1ln (1xx. 综上可知，不等式⑨成立. （5）)0(1)211()1ln (xxxxx ⑩ 证明：令1)211()1ln ()(xxxxxf，则0)1(2)(22xxxf. 故0)0()( fxf. 所以，不等式⑩成立. 变式：)0)(111(21)11ln (xxxx ⑪ 利用上述类似构造函数方法，还可以...