典型例题一： 黄河小浪底调水调沙问题 2004 年6 月至7 月黄河进行了第三次调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄防水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。整个试验期为 20 多天，小浪底从 6 月19 日开始预泄放水，直到 7 月13 日恢复正常供水结束。小浪底水利工程按设计拦沙量为 75.5 亿 m3,在这之前，小浪底共积泥沙达 14.15 亿 t，这次调水调沙试验一个重要目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从 6 月27 日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于 29 日先后达到小浪底，7 月3 日达到最大流量 2700 m3/s,使小浪底水库的排沙量也不断地增加。表 1 是由小浪底观测站从 6 月29 日到 7 月10 日检测到的试验数据。 现在根据试验数据建立数学模型研究下面的问题： 1. 给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法。 2. 确定排沙量与水流量的变化关系。 表 1 试验观测数据 单位：水流为 m3/s，含沙量为 kg/m3 日期 6.29 6.30 7.1 7.2 7.3 7.4 时间 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 水流量 1800 1900 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2650 2700 2720 2650 含沙量 32 60 75 85 90 98 100 102 108 112 115 116 日期 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 时间 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 8:00 20:00 水流量 2600 2500 2300 2200 2000 1850 1820 1800 1750 1500 1000 900 含沙量 118 120 118 105 80 60 50 30 26 20 8 5 模型的建立与求解 对于问题（1）根据所给问题的实验数据，要计算任意时刻的排沙量，就要确定出排沙量随时间变化的规律，可以通过插值来实现。考虑到实际中排沙量应该是随时间连续变化的，为了提高精度，我们采用三次 b 样条函数进行插值。 下面构造三次 b 样条函数y =S(x )。由试验数据，时间是每天的早 8 点和晚 8 点，间隔都是12 个小时，共 24 个点 ti(i=1,2,…,24).为了计算方便，令 ),23,...,2,1,0(1]2[2128iitxii 则 ti 对应于x i=i+1（i=0,1,2,3,…,23）.于是以x i(i=0,1,2,…,23)为插值结点，步长 h=1.其相应的排沙量为 y i（i=...
