数值计算方法上机题目1 1、实验 1. 病态问题1、实验 1. 病态问题实验目的 ：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。 希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。问题提出 ：考虑一个高次的代数多项式201)()20)...(2)(1()(kkxxxxxp（E1-1）显然该多项式的全部根为l，2，⋯， 20，共计 20 个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动0)(19xxp(E1-2) 其中是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中19x的系数作一个小的扰动。我们希望比较（ E1-1）和（ E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。实验内容 ：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots”和“ poly”，输入函数u＝roots（a）其中若变量 a 存储1n维的向量，则该函数的输出u 为一个 n 维的向量。设a 的元素依次为121,...,,naaa，则输出 u 的各分量是多项式方程0...1121nnnnaxaxaxa的全部根，而函数b=poly(v) 的输出 b 是一个 n＋1 维变量，它是以 n 维变量 v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots”和“ Poly”是两个互逆的运算函数. ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; roots(poly(1:20))+ve) 上述简单的Matlab 程序便得到 （E1-2）的全部根， 程序中的 “ess”即是（E1-2）中的。实验要求 ：（1）选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数很小，我们自然感觉（E1-1）和 (E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？1.如程序 Wjj-1.m 所示，给19x的系数一个扰动时，解会产生变化。扰动越小，解与真实值越接近。当扰动增加到一定值，解会变成负数，在所做的给19x的系数一个扰动的实验中，当该扰动大于10^-11 时，产生复数解。2.将扰动项改成18x，解同样会发生变化。扰动越小，解的变化越小，当扰动增加到一定值，解会变成负数，在所做的给18x的系数一个扰动的实验中，当该扰动大于 10^-9 时，产生复数解。3.解关于的导数的绝对值越大，解关于的扰动越敏感。 18、17、16、15、1...
