1 / 14 数值计算方法第一次作业及参考答案1.已测得函数( )yf x 的三对数据： （0，1），（－ 1，5），（2，－ 1），（1）用 Lagrange 插值求二次插值多项式。 （2）构造差商表。 （ 3）用 Newton 插值求二次插值多项式。解： (1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1( )(1)(2)(01)(02)2xxlxxx同理1211( )(2),( )(1)36lxx xlxx x故2202151()()(1 ) (2 )(2 )(1 )23631i iipxy l xxxx xx xxx（2）令0120,1,2xxx，则一阶差商、二阶差商为0112155( 1)[,]4,[,]20( 1)12f xxf x x0124( 2)[,,]102f xx x实际演算中可列一张差商表：ixiy一阶差商二阶差商0 1 －1 5 －4 2 －1 －2 1 （ 3）用对角线上的数据写出插值多项式22( )1( 4)(0)1*(0)(1)31P xxxxxx2.在44x上给出( )xf xe 的等距节点函数表，若用二次插值求xe 的近似值，要使截断误差不超过610，问使用函数表的步长h 应取多少？解：()40000( ),( ),[ 4,4],,,,1.xkxf xefxeexxh xxhxxth t考察点及2 / 14 (3)200044343( )( )[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!2.( 4, 4).63 3fRxxxhxxxxht tteth ththe heh则43612((1)(1)33 3100.006.9 3t ttehh在点处取到极大值）令 得 3.求2( )f xx 在［ a,b］上的分段线性插值函数( )hIx ，并估计误差。解：22221111112211111( )()kkkkhkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxIxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxx2112211( )( )( )[()]11()()44hhkkkkkkkkR xf xIxxxxxx xxxxxxxh4.已知单调连续函数( )yf x 的如下数据ix－0.11 0.00 1.50 1.80 ()if x－1.23 －0.10 1.17 1.58 用插值法计算x 约为多少时( )1.fx（小数点后至少保留4 位）解：作辅助函数( )( )1,g xf x则问题转化为 x 为多少时，( )0.g x此时可作新的关于()ig x 的函数表。 由( )f x 单调连续知( )g x 也单调连续， 因此可对( )g x 的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为3 / 14 1( )0.11 0.097345(2.23)0.451565(2.23)(1.10)0.255894(2.23)(1.10)(0.17)xgyyyyyyy故1( 0 )1. 3 2 1 4 9 7.xg5.设函数( )f x 在区间 [0,3] 上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3的多项式3( )P x ，使其满足3(0)0P，3(1)1P，3 '(1)3P,3(2)1P。并写出误差估计式。解：由所给条件可 用埃尔米特插值法确定多项式3( )P x ，32357( )722pxxxx2112(1)( )(2);( )(1)(2);( );2x xx...
