1 数列综合应用（ 1）————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解1．先求和后放缩例 1．正数数列na的前 n 项的和nS ，满足12nnaS，试求：（1）数列na的通项公式；（2）设11nnnaab，数列nb的前 n 项的和为nB ，求证：21nB2. 先放缩再求和①．放缩后成等差数列，再求和例 2．已知各项均为正数的数列{}na的前 n 项和为nS , 且22nnnaaS . (1) 求证：2214nnnaaS；(2)求证：112122nnnSSSSS②．放缩后成等比数列，再求和例 3．（1）设 a，n∈N *， a≥2，证明：nnnaaaa)1()(2；（2）等比数列 { an} 中，112a，前 n 项的和为 An，且 A7， A9，A8 成等差数列．设nnnaab12，数列 { bn} 前 n 项的和为 Bn，证明： Bn＜ 13．2 ③．放缩后为差比数列，再求和例 4．已知数列 {}na满足：11a，)3,2,1()21(1nanannn．求证：11213nnnnaa④．放缩后为裂项相消，再求和例 5．在 m（ m≥2）个不同数的排列P1P2⋯Pn中，若 1≤ i＜j ≤m 时 Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序 . 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(nnn的逆序数为 an，如排列 21 的逆序数11a，排列 321 的逆序数63a．（1）求 a4、a5，并写出 an 的表达式；（2）令nnnnnaaaab11，证明：32221nbbbnn， n=1,2,⋯.高考真题再现：1.（06 浙江卷） 已知函数32( )f xxx ，数列 {}nx(nx ＞ 0)的第一项1x ＝ 1，以后各项按如下方式取定：曲线( )yf x 在))(,(11nnxfx处的切线与经过（0，0）和（nx ，()nf x）两点的直线平行（如图）求证：当*nN时，(Ⅰ) 221132nnnnxxxx；（Ⅱ）21)21()21(nnnx。3 2.（06 福建卷） 已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I ）求数列na的通项公式；（II ）证明：*122311...().232nnaaann nNaaa3.（07 浙江） 已知数列na中的相邻两项212kkaa，是关于 x 的方程023)23(2kkkxkx的两个根，且212 (1 2 3)kkaak≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；（II ）求数列na的前 2n 项和2nS；（Ⅲ）记sin1( )32sinnf nn，(2)(3)(4)(1)123456212( 1)( 1)( 1)( 1)ffffnnnn...
